Ableitungen

Ich hab den Kurs nicht, aber das Lehrbuch – kannst Du bitte mal sagen, wie das Kapitel heißt und welcher Zusammenhang das ist?

kridbonn wrote:

Ich hab den Kurs nicht, aber das Lehrbuch – kannst Du bitte mal sagen, wie das Kapitel heißt und welcher Zusammenhang das ist?

Hallo,

sorry für die späte Reaktion.

Also hier die Passagen aus dem Kurs:

S. 50 von der Gleichung 1.3.2-1 zu 1.3.2-2:

[IMG]https://sites.google.com/site/mfdhlk/Home/vwl_2.jpg[/IMG]

oder auf Seite 52 von Gleichung 1.3.3-1 zu 1.3.3-2:

[IMG]https://sites.google.com/site/mfdhlk/Home/vwl_1.jpg[/IMG]

Wie erfolgt hier jeweils der Ableitungsschritt ?
Ich kann das beim besten Willen nicht nachvollziehen?

Auf Seite 50 wurde einfach YL nach L abgeleitet und dabei nur die Produktregel angewendet.

Auf Seite 52 wurde G nach L abgeleitet, beim ersten und zweiten Summanden mit Produktregel, der dritte enthält L nicht und wird deswegen 0.

Die Funktionsargumente werden allerdings öfter nur beim ersten Schritt hingeschrieben, danach nur noch die Funktionsnamen selbst. Außerdem wird "Strich"- und "Delta"-Notation für Ableitungen durcheinander verwendet. Vielleicht ist das das Problem?

andreasr wrote:

Auf Seite 50 wurde einfach YL nach L abgeleitet und dabei nur die Produktregel angewendet.

Auf Seite 52 wurde G nach L abgeleitet, beim ersten und zweiten Summanden mit Produktregel, der dritte enthält L nicht und wird deswegen 0.

Die Funktionsargumente werden allerdings öfter nur beim ersten Schritt hingeschrieben, danach nur noch die Funktionsnamen selbst. Außerdem wird "Strich"- und "Delta"-Notation für Ableitungen durcheinander verwendet. Vielleicht ist das das Problem?

Wenn ich das nun richtig verstehe, bedeuten dann folgende Angaben dasselbe:
dG/dL sowie deltaG/deltaL
? Richtig?

Bzgl. der Produktregel. Diese lautet ja:
[IMG]https://upload.wikimedia.org/math/9/7/c/97ce52702faee436574d83d248e743fa.png[/IMG]
[IMG]https://upload.wikimedia.org/math/2/1/b/21becdb891243bd79971c731b2887805.png[/IMG]

Ich kann eben der Umsetzung dieser Regel in der Notation des Kurses nicht folgen.
Wie gelangt man also z.B. unter Anwendung dieser Regel von:
P[X(L,C)]X(L,C)
zu dem 1. Term in 1.3.3-2 auf Seite 52?

Also: Nehmen wir an, Du hast die Funktion f(x). Die (erste) Ableitung nach x kann man dann f'(x) oder [tex]\frac{df}{dx}[/tex] schreiben. Das ist dasselbe, nur zwei unterschiedliche Schreibweisen.

Nun sei die Funktion f(x,y). Die Funktion ist also von zwei Variablen abhängig. Dann kann man die Änderung berechnen, wenn sich nur die Variable x ändert, und man schreibt: [tex]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex] und gelegentlich auch [tex]f'_x[/tex]. Man nennt das eine partielle Ableitung von f nach x.

Das runde d ist kein griechisches Delta, sondern eben ein rundes d ;), und einige Leute sprechen es in diesem Zusammenhang "del" aus.

Die Ableitungsregeln für partielle Ableitungen sind dieselben wie für normale.

sebstof wrote:

Ich kann eben der Umsetzung dieser Regel in der Notation des Kurses nicht folgen.
Wie gelangt man also z.B. unter Anwendung dieser Regel von:
P[X(L,C)]X(L,C)
zu dem 1. Term in 1.3.3-2 auf Seite 52?

Das ist nicht nur Produkt-, sondern auch Kettenregel.

P ist von der Funktion (! – nicht Variable) X(L) abhängig und wird nochmal mit X(L) multipliziert.

Für die Ableitung nach dem L in P[X(L)] muss man die Kettenregel anwenden. Die heißt äußere mal innere Ableitung. Die Äußere Ableitung ist die von P nach der Funktion X, also dP/dX oder wie es hier "vereinfachend" :rolleyes: geschrieben wird: P'. Die Innere Ableitung ist dann die Ableitung der inneren Funktion (also X) nach L, und das ist dX/dL.

Mach zusammen: P'*dX/dL.

Für die Produktregel, so wie Du sie dir bei Wikipedia geholt hast, ist P[X(L)] das u(x) und X(L) das v(x). Also ist das jetzt das u'=P'*dX/dL. Also ist u'*v=P'*dX/dL*X(L).

Das Ganze plus u*v' – ist P[X(L)]*dX/dL.

Und dann hast Du den Term.

kridbonn wrote:

Also: Nehmen wir an, Du hast die Funktion f(x). Die (erste) Ableitung nach x kann man dann f'(x) oder [tex]\frac{df}{dx}[/tex] schreiben. Das ist dasselbe, nur zwei unterschiedliche Schreibweisen.

Nun sei die Funktion f(x,y). Die Funktion ist also von zwei Variablen abhängig. Dann kann man die Änderung berechnen, wenn sich nur die Variable x ändert, und man schreibt: [tex]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex] und gelegentlich auch [tex]f'_x[/tex]. Man nennt das eine partielle Ableitung von f nach x.

Das runde d ist kein griechisches Delta, sondern eben ein rundes d ;), und einige Leute sprechen es in diesem Zusammenhang "del" aus.
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Danke. Sehr aufschlussreich.
Das muss man wissen (im Studium an der Fernuni vermittelt das niemand).

andreasr wrote:

Auf Seite 50 wurde einfach YL nach L abgeleitet und dabei nur die Produktregel angewendet.

Auf Seite 52 wurde G nach L abgeleitet, beim ersten und zweiten Summanden mit Produktregel, der dritte enthält L nicht und wird deswegen 0.

Die Funktionsargumente werden allerdings öfter nur beim ersten Schritt hingeschrieben, danach nur noch die Funktionsnamen selbst. Außerdem wird "Strich"- und "Delta"-Notation für Ableitungen durcheinander verwendet. Vielleicht ist das das Problem?

Lansgam dämmert es mir dann doch...
Darauf muss man allerdings erst einmal kommen.

kridbonn wrote:

Das ist nicht nur Produkt-, sondern auch Kettenregel.

P ist von der Funktion (! – nicht Variable) X(L) abhängig und wird nochmal mit X(L) multipliziert.

Für die Ableitung nach dem L in P[X(L)] muss man die Kettenregel anwenden. Die heißt äußere mal innere Ableitung. Die Äußere Ableitung ist die von P nach der Funktion X, also dP/dX oder wie es hier "vereinfachend" :rolleyes: geschrieben wird: P'. Die Innere Ableitung ist dann die Ableitung der inneren Funktion (also X) nach L, und das ist dX/dL.

Mach zusammen: P'*dX/dL.

Für die Produktregel, so wie Du sie dir bei Wikipedia geholt hast, ist P[X(L)] das u(x) und X(L) das v(x). Also ist das jetzt das u'=P'*dX/dL. Also ist u'*v=P'*dX/dL*X(L).

Das Ganze plus u*v' – ist P[X(L)]*dX/dL.

Und dann hast Du den Term.

Prima, danke.
Alles klar fürs erste!

sebstof wrote:

Danke. Sehr aufschlussreich.
Das muss man wissen (im Studium an der Fernuni vermittelt das niemand).

Ähem, schau mal in den Kurs Mathe für Wiwi und zwar Kurs 54 KE 1, Bemerkung 11.1.15 und KE 2 Definiition 13.2.1... :feiff: