Aufgabentyp- Präferenzen - Güterbündel

Puck,

V ist einfach eine neue Funktion. Es wird gefragt, ob X und V die gleiche Präferenzordnung abbilden können. Die Lösung dafür und wie man solche Aufgabentypen angeht, findest du relativ weit vorne in KE 2 :).

Ansonsten sind es eben Wissensfragen, ob das Konzept der Präferenzordnung nun kardinal oder ordinal ist. Am besten du machst dir auch klar, was eine Indifferenzkurve ist und was sie darstellt, dann solltest du Wissensfragen dazu eigentlich beantworten können.

Super Dank dir....

die wissensfragen kann ich... die sind nicht so dass problem....

und wegen den V-Formeln, kann ich dass so verstehen, dass ich mal der probe halber verschiedene Zahlenwerte einsetzte und dann nominal testen kann ob die gleichen ergebnisse rauskommen?? Kann man dann sagen ja es ist die gleiche präferenzfunktion???

Ist dass alles?

Na die gleichen Ergebnisse werden nicht rauskommen. Was du machen kannst: Mehrere Ergebnisse berechnen, also jeweils für x1 = 5 und x2 = 5 und dann für x1= 10 und x2=10 etc.. Wenn bei Funktion X der Wert steigt MUSS das Ergebnis von Funktion Y auch steigen.

Da gibts irgendwelche Transformationsregeln wann eine Funktion die gleiche Präferenzordnung abbildet und wann nicht.

Das mit den Zahlen einsetzen mache ich auch wenn ich unsicher bin ob es die gleiche Präferenzordnung abbildet oder nicht. Dann muss man noch die 1.Ableitung bilden und schaut ob das > 0 ist, wenn ja, dann bildet es die gleiche Präferenzenordnung ab

Mit dem Ableiten mache ich das auch meistens.
Ich mache es erst immer so, dass ich U in V einsetzen kann, so wie in der Lösung.
Dann leite ich V nach U ab und schaue ob das Ergebnis positiv ist.
Wenn ja, dann liegt eine streng monoton steigene Transformation.
Zur Not mit Zahlenwerte versuchen, wie schon oben erwähnt.

Aufg. 2, September 2008

Hallo.
Trotz eurer Tipps verstehe ich nicht, weshalb Antwort 2c richtig sein soll.

Z.B. setze ich mal Zahlen ein.
U= X1*X2 => 5*5=25 und 6*6=36, d.h. U wird größer
V= -1/(X1*X2) => -1/25 und -1/36, wobei doch aber -1/36 kleiner ist als -1/25.

Das heißt dann für mich, daß es sich nicht um die gleiche Präferenzordnung handelt.
Nun weiß ich nicht, wo mein Denkfehler liegt.

Also Du musst Dir das folgendermaßen vorstellen.

Ich greife mal ein Beispiel aus der Luft, weil ich die Klausur hier gerade nicht griffbereit habe...

Du denkst Dir am besten 4 verschiedene Werte für x1 und x2 aus

zB

              X1   X2      . .. es kommt raus für Funktion   U        V\

1.Versuch 5 5 15 28
2.Versuch 5 6 16 33
3.Versuch 6 5 16 31
4.Versuch 6 6 17 40

Du siehst bei dieser Funktion (keien Ahnung welche das its, es ging mir um die REIHENFOLGE DER ERGEBNISSE) , dass bei diesen Zahlenwerden Funktion U von Versuch 1 zu Versuch2 ein höheres Ergebnis bei den Ergebnissen bekommt.
vom 2.Versuch bis zum 3.Versuch bleibt das Ergebnis konstant
und vom 3.Versuch bis zum 4.Versuch steigt das Ergebnis nochmal.

DAS IST BEI funktion V nicht so, denn vom 2.Versuch bis zum 3.Versuch nimmt das ergebnis ab!

also kann v keine transformation von u sein, die streng monoton steigt

DIESE VORGEHENSWEISE KLAPPT ÜBRIGENS NUR FÜR DAS NEGATIVBEISPIEL.
Du kannst nur ermitteln, dass 2 funktionen NICHT voneinander abhängen.
Du kannst nicht sagen, DASS SIE voneinander abhängen.
Für ein Positivbeispiel musst Du anschließend die Methode mit den Ableitungen nehemn.

onemorename wrote:

Hallo.
Trotz eurer Tipps verstehe ich nicht, weshalb Antwort 2c richtig sein soll.

Z.B. setze ich mal Zahlen ein.
U= X1*X2 => 5*5=25 und 6*6=36, d.h. U wird größer
V= -1/(X1*X2) => -1/25 und -1/36, wobei doch aber -1/36 kleiner ist als -1/25.

Wenn ich mich nicht irre, ist -1/36 > -1/25? :confused

auweia: Oh Mann, du hast natürlich völlig recht. Im negativen Bereich ist ja alles umgekehrt. Hoffe bloß, daß mir in der Klausur solche Aussetzer erspart bleiben. :o

Weil sich ja nun beide Sachen in die gleiche Richtung entwickeln, muß ich ja mit der Ableitung von V prüfen.
Wenn ich mich nicht vertan habe, komme ich auf V' = X1^-2*X2^-1 + X1^-1*X2^-2. Diese wird aber m.E. mit den von mir eingesetzen Werten X=5 bzw. 6 immer kleiner, weswegen ich nach wie vor nicht von steigender Transformation sprechen kann. Oder?

Ich probiers mal, aber bin mir nicht sicher:

U = X1X2
V = -1 / (X1X2) = -1/U = -1 U^-1
dV/dU = -1 * -1 * U^-2 = U^-2 => Ausdruck ist > 0
=> gleiche Präferenzordnung

Aber wie gesagt, 100%ig bin ich mir net sicher,

Ciao
Mel

Ach so, d.h. also ich muß nur U in V einsetzen und nicht die ganze ursprüngliche X-Konstellation.
Na wenn das so ist, dann hab' ich's jetzt glaube ich auch endlich gecheckt. :danke: Besser spät als nie und noch vor der Klausur.

Ich empfehle systematischer an die Analyse heranzugehen:

Zwei Nutzenfunktionen U und V bilden dieselbe Präferenzordnung ab, wenn U eine monoton steigende Transformation von V ist oder V eine monoton steigende Transformation von U ist.

Definition: Die Funktion f ist eine monoton steigende Transformation der Funktion g wenn es eine Funktion h gibt für die (1) und (2) gilt:

(1) h ist überall monoton steigend

(2) f = h ° g, d.h. f(x) = h(g(x)) für alle x ("f ist die Verkettung von h mit g")

Die Idee dahinter: Die monoton steigende ("Transformations-") Funktion h "erhält" bei der Transformation von U nach V die ordinalen Beziehungen zwischen den Nutzwerten von U, also die Präferenzrelation, die U abbildet, d.h. es gilt

- U(A) > U(B) genau dann wenn V(A) = h(U(A)) > h(U(B)) = V(B)

- U(A) < U(B) genau dann wenn V(A) = h(U(A)) < h(U(B)) = V(B)

- U(A) = U(B) genau dann wenn V(A) = h(U(A)) = h(U(B)) = V(B)

Deshalb bildet V dieselbe Präferenzrelation wie U ab.

Beispiel:

U(X1, X2) = X1 * X2

V(X1, X2) = 3 * (X1 * X2)^2 - 5

Sei h(X) = 3 * X^2 - 5

Dann gilt:

(1) h ist überall monoton steigend, da dh/dX = 6 * X >= 0 (da X >= 0)

(2)
V(X1, X2)
= 3 * (X1 * X2)^2 - 5
= 3 * U(X1, X2)^2 - 5
= h(U(X1, X2))

Also V = h ° U

Damit: V ist monoton steigende Transformation von U, d.h. V und U sind Nutzenfunktionen zur selben Präferenzordnung.

Es gilt bei diesen Aufgaben also zu erkennen, ob in den Nutzenfunktionen eine monoton steigende Funktion h "versteckt" ist vermittels der die eine Nutzenfunktion durch Verkettung mit dieser (Transformations-) Funktion h die andere Nutzenfunktion ergibt.

Liebe Grüße