Bestimmung des Ranges einer Matrix

Nabend Jakob !

Der Rang einer Matrix ist im Prinzip nichts anderes als die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren.
Du formst die Matrix mittels Gauß in z.B. die obere Dreicksform um und schaust wie viele Zeilenvektoren ungleich 0 sind. Das ist dann der Rang deiner Matrix.
Die Einheitsmatrix hat dann natürlich vollen Rang, da jeder Zeilenvektor an einer Stelle eine 1 zu stehen hat.

Ich hoffe, das hilft !?

Dennis!

Ich dachte Gauß besagt, dass man in den Einheitsvektor umwandeln muss?

Also obere Dreiecksmatrix reicht?

Und die Regeln sind ja:

- Multiplizieren
- Addieren
- Vertauschen

Richtig?

Kannst Du Dir die Mühe machen und mir das vielleicht an einem Beispiel erklären?

"Du schaust wie viele Zeilenvektoren ungleich null sind..."

Das heißt:

1 Zeilenvektor ungleich null (also mind. 1 Zahl des Vektors nicht 0) = 1 Rang

Also...
Die obere Dreiecksmatrix reicht um zu erkennen, welchen Rang die Matrix hat. Natürlich ist es einfacher zu erkennen, wenn du sie in die Einheitsmatrix umwandelst - dann ist es eindeutig.

Die Regeln :

1. Du kannst jede Zeile mit einer Zahl multiplizieren oder durch eine Zahl dividieren.

2. Man kann eine Zeile von einer anderen abziehen oder sie dazu addieren.
(Natürlich geht das auch mit einem Vielfachen einer Zeile, sprich :
das 3-fache der 1.Zeile plus die zweite Zeile usw.)

3. Zeilen und Spalten können untereinander vertauscht werden.

Ein Beispiel kann ich leider gerade nicht geben, da ich unterwegs bin und nichts dabei habe. Aber du hast das schon richtig verstanden.

1 0 0
0 1 0 = Rang 3, vollen Rang
0 0 1

1 0 0
0 1 0 = Rang 2, da Zwei Zeilen gleich sind : wenn man die 2. von der 3. abzieht,
0 1 0 ist eine 0 0 0 !!!

Ich hoffe das ist einleuchtend ?!

Du kommst auch aus München ? Warst du denn bei der Mathe-Übung am Dienstag ?

Jepp. Komme aus München und war bei der Mathe-Veranstaltung...

Verstanden hab ichs. Jetzt muss nur noch die Umsetzung funktionieren :)

Danke Dir!

(Vielleicht kannst Du mir das Beispiel ja nachreichen? *hoffnungsvoll*)

Eine abschließende Frage: Wenn ich eine Zeile (1) von der anderen (2) abziehe. Welche Zeile ist dann neu? (2) ?

Ich komm mir echt blöd vor, aber der Tag gestern hat mich wohl vermatrixt

Dennis24 wrote:

Die obere Dreiecksmatrix reicht um zu erkennen, welchen Rang die Matrix hat. Natürlich ist es einfacher zu erkennen, wenn du sie in die Einheitsmatrix umwandelst - dann ist es eindeutig.

Die Fälle, in denen die Matrix invertierbar ist und damit in eine Einheitsmatrix transformiert werden kann, sind aber nur ein relativ unbedeutender Spezialfall bei der Rangbestimmung.

Wenn die Matrix invertierbar ist, hat sie vollen Rang. Das ist ein angenehmer Spezialfall, stimmt.
Wie gesagt, der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren einer Matrix.

Ach so....2. Zeile minus erste Zeile ergibt eine neue 2. Zeile.

Da bleibt mir nur eins:

DANKE!

Danke an Cpt Chaos

Ich finde deine Fragen super - genau meine Probleme.

ich würde gerne wissen, wie man rechnerisch auf von
1 1 1 1 0
Rg 1 1 1 0 0
1 1 0 0 0
1 0 0 0 0

auf

Rg 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0

somit Rang 4 kommt. Lehrstuhl Aufgabe: c0504.

Wenn ich mir die Ausgangsmatrix ansehe, sind vier Spalten mit Zahlen und die 5. Spalte ohne, so dass ich da schon Rang 4 vermute.

Aber wie rechnerisch?

Entschuldigung bitte löschen.

Entschuldigung bitte löschen.

Z1: 11110 | -Z4
Z2: 11100 | -Z4
Z3: 11000 | -Z4
Z4: 10000

Z1: 01110 | -Z3
Z2: 01100 | -Z3
Z3: 01000
Z4: 10000

Z1: 00110 | -Z2
Z2: 00100
Z3: 01000
Z4: 10000

Z1: 00010 | vertauscht mit Z4
Z2: 00100 | vertauscht mit Z3
Z3: 01000
Z4: 10000

Z1: 10000
Z2: 01000
Z3: 00100
Z4: 00010

Rg = 4

Danke dir Ritschi.
Das macht Sinn.