Dreiecksungleichung/ Halb- Metrik

Dreiecksungleichung/(Halb-)Metrik

Hallo und guten Morgen zusammen,

Ich habe folgende Abbildung vorgegeben

d : IR X IR [FONT=Wingdings][FONT=Wingdings]à IR, d(x,y) [FONT=Euclid]:=[FONT=Euclid]|[FONT=Euclid]|(x1 – y1[FONT=Euclid])| - [FONT=Euclid]|(x2 – y2[FONT=Euclid])| |
und möchte zeigen, dass es sich hier um einem Halbmetrik handelt

Semidefinitivheit und Symmetrie sind leicht zu zeigen, aber die Dreiecksungleichung hat es in sich.

Es gilt zwar [FONT=Euclid]|(x1 – y1[FONT=Euclid])|[FONT=Euclid Math Two][FONT=Euclid Math Two]†[FONT=Euclid]|(x1 – z1[FONT=Euclid])| + [FONT=Euclid]|(z1 – y1[FONT=Euclid])| und
[FONT=Euclid]|(x2 – z2[FONT=Euclid])| [FONT=Euclid Math Two][FONT=Euclid Math Two]†[FONT=Euclid] |(x2 – z2[FONT=Euclid])| + |(z2 – y2[FONT=Euclid])| für alle z := (z1, z2) [FONT=Euclid Symbol][FONT=Euclid Symbol]Î IR2 ,
aber kann ich daraus schließen, dass
[FONT=Euclid]|[FONT=Euclid]|(x1 – y1[FONT=Euclid])| - [FONT=Euclid]|(x2 – y2[FONT=Euclid])| | [FONT=Euclid Math Two][FONT=Euclid Math Two]†[FONT=Euclid] | |(x1 – z1[FONT=Euclid])| + [FONT=Euclid]|(z1 – y1[FONT=Euclid])| - (|(x2 – z2[FONT=Euclid])| + |(z2 – y2[FONT=Euclid])|) | gilt?

Ich glaube es nicht. Aber wie solle Ich sonst zeigen, dass
[FONT=Euclid]|[FONT=Euclid]|(x1 – y1[FONT=Euclid])| - [FONT=Euclid]|(x2 – y2[FONT=Euclid])| | [FONT=Euclid Math Two][FONT=Euclid Math Two]†[FONT=Euclid] |[FONT=Euclid]|(x1 – z1[FONT=Euclid])| - [FONT=Euclid]|(x2 – z2[FONT=Euclid])| | + |[FONT=Euclid]|(z1 – y1[FONT=Euclid])| - [FONT=Euclid]|(z2 – y2[FONT=Euclid])| | gilt?

Kennt jemand der Trick?

Vielen Dank im Voraus
Dotty