Eigenwertberechnung Aufgabe C0702

@Kerstin,

kannst du mir bitte sagen, welche Aufgabe du meinst, C0702 sagt mir nichts:-((

Gruß

Uwe

Das sind die Übungsaufgaben aus der Aufgabensammlung vom Lehrstuhl.
Aber ich versuch, die Matrix hier mal darzustellen:

A=(-1 0 0)
( 0 1 1)
( 0 1 2,5)

gesucht sind hier nun die Eigenwerte. Als Lösungsvorschläge werden genannt:
-2,5; -2; -0,75; -0,5; 0,5, 2

Hab noch keine Eigenwertberechnung mit einer 3x3 Matrix gerechnet, deswegen komm ich hier eben nicht weiter.

Vielen Dank schon mal.

wicht wrote:

Das sind die Übungsaufgaben aus der Aufgabensammlung vom Lehrstuhl.
Aber ich versuch, die Matrix hier mal darzustellen:

A=(-1 0 0)
( 0 1 1)
( 0 1 2,5)

Die Eigenwertgleichung lautet ja immer (A-Lambda*E)

Lambda * E ist bei einer 3x3 Matrix nichts anderes als (bezeichne das Lambda der Einfacheithalber mal mit y):

y 0 0
0 y 0
0 0 y

Und wenn du jetzt A-y*E rechnest bekommst du:

-1-y 0 0
0 1-y 0
0 1 2,5y

Wenn du jetzt hiervon die Determinante berechnest, bekommst du eine Funktion, von der du nur noch y berechnen mußt und schon hast du deine Eigenwerte.

@Kerstin,

in der letzten Zeile müsste es aber 1-2,5 lambda sein:)

Und dieses "nur noch" heisst, daß man aus einer Funktion 3ten Grades die Nullstellen berechnen muß:-(!

Es gibt aber nur max. 3 Nullstellen, weshalb gibt der Lehrstuhl mehr mögliche Lösungen an?

Gruß

Uwe

Sunny26 wrote:

Und wenn du jetzt A-y*E rechnest bekommst du:

-1-y 0 0
0 1-y 0
0 1 2,5y

Wenn du jetzt hiervon die Determinante berechnest, bekommst du eine Funktion, von der du nur noch y berechnen mußt und schon hast du deine Eigenwerte.

Genau da hänge ich aber....wenn ich da die Determinante berechne, bekomme ich eine Funktion mit Lamda hoch 3....
Und genau da weiß ich nicht weiter, um die Eigenwerte zu berechnen. Deswegen wäre es nett, wenn das jemand vorrechnen könnte?

Vollbi wrote:

Es gibt aber nur max. 3 Nullstellen, weshalb gibt der Lehrstuhl mehr mögliche Lösungen an?

Gruß

Uwe

Wahrscheinlich weil eine oder drei davon richtig sind? Denke es ist eine MC Aufgabe.

@Sabine,

upps, wer lesen kann ist klar im Vorteil, er hiess "Lösungsvorschläge":D

@Kerstin,

ich rechne sie gleich mal selber durch und poste mein Ergebis mit Vorgehensweise.

Gruß

Uwe

@Kerstin,

here we go:

das charakteristische Polynom ist: -y^3 + 2,5y^2 + 2y - 1,5

durch ausprobieren finde ich, daß der Lösungsvorschlag 0,5 eine Nullstelle ist!

Danach habe ich 2 Möglichkeiten entweder, ich probiere alle anderen Lösungen durch oder ich teile das charakteristische Polynom durch die erste Nullstelle und erhalte: -y^2 +2y +3

Hiervon sind die Nullstellen 3 und -1

Somit ist 0,5 anzukreuzen.

Gruß

Uwe

Vollbi wrote:

@Kerstin,

here we go:

das charakteristische Polynom ist: -y^3 + 2,5y^2 + 2y - 1,5
\

jezt mal für ganz blöde wie mich :rolleyes:

Ich habe folgende Funktion: y^3-2,5y^2+2y-1,5

Mein Lösungsansatz war der, daß ich einfach ein y ausklammern kann, als erste Nullstelle also die 0 habe.

Ist das jetzt falsch??? (mal ganz abgesehen davon das ich nicht auf die Ergebnisse komme die die haben wollen :()

Es geht einfacher. Ich weiß nicht, wie ihr Determinanten ausrechnet, wahrscheinlich nach der Sarrus-Regel? Hier bietet es sich aber an, eine Laplace-Entwicklung nach der ersten Spalte oder Zeile zu machen, weil diese jeweils nur ein Nicht-Null-Element enthalten und man sich sehr viel Arbeit spart und gleich eine Nullstelle kostenlos dazukriegt.

Die Matrix ist:
-1-y 0 0
0 1-y 1
0 1 2,5-y

Entwicklung nach der ersten Spalte:

(-1-y) * det(B)

wobei B die Matrix ist, die man durch Streichen der ersten Zeile und Spalte (also der Zeile und Spalte, die das Element -1-y, nach dem ich gerade entwickle) enthält. Das ist eine 2x2-Matrix mit der Determinante (1-y)(2,5-y)-1. Insgesamt also: (-1-y) * ( (1-y)(2,5-y) - 1). Offensichtlich ist das bereits Null, wenn -1-y = 0, wir haben also schonmal den Eigenwert -1. Die anderen Eigenwerte, so vorhanden, ergeben sich als Nullstellen von (1-y)(2,5-y)-1.

BTW ich bin mir sicher, dass das so nicht stimmt, weil hier im Thread leider mehrere verschiedene Versionen der gleichen Matrix kursieren, das soll nur die Vorgehensweise verdeutlichen

@Chris,

sehr guter Hinweis, der Zeit sparen kann:))

@Kerstin,

vielleicht überprüfst du noch mal dein charakteristisches Polynom, weil es von meinem abweicht:D

Hinsichtlich deines Ausklammern: ist so nicht möglich, da der letzte Summand kein Lambda enthält. Somit gewinnst du nichts und ich komme eben darauf, daß Null keine Nullstelle ist.

Gruß

Uwe

Vielleich kann mir jemand helfen. Ich versuch mich seit Stunden in der Berechnung der Eigenwerte aber beim Aufstellen der Gleichung zur Deerinante kürzt sich alles weg ?? Und das bei fast allen.... :mad:

Aufgabe Bsp:

-1 -8
-8 -1

Ergebnis laut Onlinerechner: ([COLOR=#1d2a8d][U][COLOR=#1D2A8D][U][URL="https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert.htm"]Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren[/URL][/U][/COLOR][/U][/COLOR])

charakteristisches Polynom:
x^2 + 2x - 63

reelle Eigenwerte:
{-9; 7}

Wenn ich das selber rechne komm ich auf folgendes:

(-1-x)*(-1-x) + (-8)*(-8) - ((-8)*(-8) + (-1-x)*(-1-x))

a bissel anders geschrieben...

(-1-x)*(-1-x) + 64 - 64 - (-1-x)*(-1-x)

und das ist Null!

Was mach ich falsch?:confused

@mirco

Hi mirco,
ich glaub du berechnest da bissel was falsch ;)

du musst den ganzen spaß so wie mit determinanten rechnen blos das du in der hauptdiagonalen noch ein -lambda hinzufügst ... oder x oder wie auch immer du das gerade bezeichnen magst

also (-1-x)*(-1-x)-(-8)*(-8)
= x^2+2x-63

was du dann mit der pq formel lösen kannst

gruß

Also wird blos ein Teil der Sarrus Regel für die Determinante genommen?

[IMG]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/13/Regel_von_Sarrus.png[/IMG]

(-1-x)*(-1-x)-(-8)*(-8) ist ja nur der "+" Teil der Regel (Schwarze Pfeile). Den Roten muss ich dann nicht noch abziehen? Denn da komm ich auf mein besagtes (-1-x)*(-1-x) + (-8)*(-8) - ((-8)*(-8) + (-1-x)*(-1-x))?

Ich steh eben tierisch auf dem Schlauch.

Naja, du hast einmal plus und einmal minus

du hast blos eine zweier-matrix und keine dreier, deswegen verwechselst du da vllt was

Sicherlich, aber was?

mein charakteristisches Polynom sieht wie folgt aus:
L^3-2,5L^2-2L+1,5=0
meine Probierlösung ist -1
das kann man nun lösen:

1 -2,5 -2 1,5
0 -1 3,5 -1,5
---------------
1 -3,5 1,5 0

damit habe ich: L^2 - 3,5L +1,5 = 0 => Lösen mit pq-Formel.
Meine Eigenwerte lauten damit: L1= -1 / L2 = 3 / L3 = 0,5.
Von den angegebenen Lösungsvorschlägen wäre dann nur 0,5 richtig...
Obs auch wirklich richtig ist weiß ich leider nicht

mircotoepfer wrote:

sicherlich, aber was?

Die Determinante berechnen heißt Hauptdiagonalen minus Nebendiagonalen. Eine 2 mal 2 Matrix hat nur eine Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) und eine Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben)

mircotoepfer wrote:

sicherlich, aber was?

Hallo Mirco,

hast Du die Matrix vielleicht erweitert?

Das musst Du nicht machen.
Bei einer 2x2 Matrix musst Du so rechnen, wie es Ronald erklärt hat.

mircotoepfer wrote:

sicherlich, aber was?

Hallo,

eine 2x2 Matrix kann man sehr wohl auch mit der Regel von Sarrus berechnen ist aber zu umständlich. Du musst dann auch hier die Matrix mit den ersten beiden Spalten erweitern - hier also mit der gesamten Matrix. Bei deiner Berechnung fehlt sowohl die Addition der 3. Hauptdiagonale sowie die Subtraktion der 3. Nebendiagonale...:rolleyes:

Aber rechne doch einfach HD - ND - ist viel einfacher