Extremwert ohne Ableitung?

@pple wrote:

... erhalte ich -5/(x^2-4x+4).

Dieser Bruch kann niemals 0 ergeben, da im Zähler kein x ist. Somit gibt es auch keine Extremwerte.

Gruß
Stefan

@pple wrote:

erhalte ich -5/(x^2-4x+4).

Ich stimme ericdanone zu und würde im Nenner (x-2)^2 stehen lassen. Nach meiner Erfahrung vereinfacht das spätestens bei der 2. Ableitung das Kürzen.

Wenn ich nun zu der Erkenntnis bezüglich der ersten Ableitung gekommen bin, habe ich doch keine kritischen Punkte, oder? Wozu brauche ich dann noch die zweite ableitung und was setze ich dann dort ein, wenn ich keinen kritischen Punkt habe, den ich prüfen kann?

Der Hinweis, nicht auszuklammern, war allgemein. In diesem Beispiel brauchst Du tatsächlich keine 2. Ableitung. mehr.

Einen kritischen Punkt gibt es dennoch. Schau Dir mal den Nenner an, der ist nicht für jeden x definiert. :eek

Klara wrote:

Der Hinweis, nicht auszuklammern, war allgemein. In diesem Beispiel brauchst Du tatsächlich keine 2. Ableitung. mehr.

Einen kritischen Punkt gibt es dennoch. Schau Dir mal den Nenner an, der ist nicht für jeden x definiert. :eek:

Du meinst, die Nullstelle/Polstelle an der Stelle 2?
Extremwerte sind aber trotzdem nicht da, oder?

Es gibt eine Unterscheidung in lokale und globale Extrema. Die lokalen Extrema findest Du mit der ersten und der zweiten Ableitung.

Für die globalen Extrema musst Du gucken, was passiert, wenn sich x den kritischen Punkten von links und rechts nähert. Also in diesem Fall, was passiert, wenn sich x von links (x<2) oder rechts (x>2) dem Wert 2 annähert, dann bekommst Du zwei globale Extrempunkte.

Und zur Sicherheit würde ich auch immer prüfen, was passiert, wenn x gegen Unendlich geht. (Falls Du die Regel von Hospital kennst, kannst Du sie hier anwenden, wenn nicht: Plausibilitätsüberlegungen! :D)

Klara wrote:

Es gibt eine Unterscheidung in lokale und globale Extrema. Die lokalen Extrema findest Du mit der ersten und der zweiten Ableitung.

Für die globalen Extrema musst Du gucken, was passiert, wenn sich x den kritischen Punkten von links und rechts nähert. Also in diesem Fall, was passiert, wenn sich x von links (x<2) oder rechts (x>2) dem Wert 2 annähert, dann bekommst Du zwei globale Extrempunkte.

[COLOR=Red]Hiermit meinst Du also das "Ende" der Graphen, das auf rechten Seite der Polstelle nach oben und und auf der linken Seite der Polstelle nach unten verläuft (parallel zur y-Achse)?[/COLOR]

Und zur Sicherheit würde ich auch immer prüfen, was passiert, wenn x gegen Unendlich geht.

[COLOR=Red]Hiermit meinst Du jeweils das andere Ende der Graphen, das für die x
links der Polstelle gegen -unendlich und für die x rechts neben der Polstelle gegen +unendlich geht (parallel zur x-Achse)?[/COLOR]

Falls Du die Regel von Hospital kennst, kannst Du sie hier anwenden,

[COLOR=Red]Irgendwie habe ich im Hinterkopf, dass man die nicht immer anwenden darf.
Was bringt mir diese zusätzliche Überprüfung?
[/COLOR]
wenn nicht: Plausibilitätsüberlegungen! :D)

Irgendwie habe ich das Gefühl, Du machst dich über mich lustig :D
Ich bin froh, wenn ich bestehe!

@pple wrote:

[COLOR=Red]Hiermit meinst Du also das "Ende" der Graphen, das auf rechten Seite der Polstelle nach oben und und auf der linken Seite der Polstelle nach unten verläuft (parallel zur y-Achse)?
[/COLOR]

*Ja, genau. :)

@pple wrote:

[COLOR=Red]Hiermit meinst Du jeweils das andere Ende der Graphen, das für die x
links der Polstelle gegen -unendlich und für die x rechts neben der Polstelle gegen +unendlich geht (parallel zur x-Achse)?
[/COLOR]

Ja, aber es muss nicht notwendig so sein, dass der Graph der Funktion quasi parallel zur x-Achse verläuft. (Er verläuft natürlich nicht tatsächlich parallel, aber irgendwann sieht es so aus, als ob...) Und die x gehen zwar gegen +- unendlich, aber die Funktionswerte nicht!

@pple wrote:

[COLOR=Red]Irgendwie habe ich im Hinterkopf, dass man die nicht immer anwenden darf.
Was bringt mir diese zusätzliche Überprüfung?
[/COLOR]

In diesem Fall könntest Du sie anwenden. Die Funktion konvergiert gegen 1, wenn x gegen +- Unendlich geht. Abr es könnte ja auch anders sein, nämlich dass die Funktion nicht gegen 1 konvergiert sondern gegen +- Unendlich geht. Das könntest Du mit der Regel von Hospital rausfinden.

Aber ich will Dich nicht verwirren. Wenn nur nach lokalen Extrema gefragt ist, brauchst Du das nicht.*

Eine andere Möglichkeit ist es, sich eine kleine Zeichnung zu machen,-
dann sieht man wie die Funktion aussieht.