Geometrische Reihe

Das Ergebnis ist richtig. Das zweite Glied der Folge könnte man auch berechnen (Bei der Basis 2 sieht man das aber noch sofort).
Gruß
Stefan

ericdanone wrote:

Das Ergebnis ist richtig. Das zweite Glied der Folge könnte man auch berechnen (Bei der Basis 2 sieht man das aber noch sofort).
Gruß
Stefan

Wie wäre Deine Vorgehensweise, wenn die Aufgabe schwieriger ist und die Basis und somit die geometrische Reihe nicht sofort ersichtlich sind?

kathleen wrote:

Wie wäre Deine Vorgehensweise, wenn die Aufgabe schwieriger ist und die Basis und somit die geometrische Reihe nicht sofort ersichtlich sind?

q stellt den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Elemente der geometrischen [U]Folge[/U] dar:

[tex](1) \qquad q=\frac{a_{m+1}}{a_m}
[/tex]

Das m-te Element einer geometrischen [U]Folge[/U] lässt sich durch das erste Element und den Quotienten berechnen:

[tex](2) \qquad a_m=a_1\cdot q^{m - 1}[/tex]

Die geometrische [U]Reihe[/U] Sn ist die Summe der einzelnen Glieder der geometrischen Folge:

[tex](3) \qquad S_n=\sum_{m=1}^{n}a_m=a_1 \cdot \frac{q^n \, - \, 1}{q-1}[/tex]

Im Beispiel war gegeben:

[tex]S_1=2[/tex] und [tex]S_3=S_2+8 [/tex]

Aus (3) folgt:

[tex]a_1=2[/tex]

Ferner gilt aus (3):

[tex]s_3=s_2+8[/tex]

[tex]a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_2 + 8[/tex]

[tex]a_3=8[/tex]

in (2):

[tex]8=2 \cdot q^{(3-1)}[/tex]

[tex]4=q^2[/tex]

[tex]q_1=2 \qquad q_2=-2[/tex]

Die zweite Lösung hatte ich auch übersehen. Aber hiermit kannst Du nun über Formel (3) unmittelbar S7 ausrechnen.

Viele Grüße
Stefan

ericdanone wrote:

q stellt den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Elemente der geometrischen [U]Folge[/U] dar:

[tex](1) \qquad q=\frac{a_{m+1}}{a_m}
[/tex]

Das m-te Element einer geometrischen [U]Folge[/U] lässt sich durch das erste Element und den Quotienten berechnen:

[tex](2) \qquad a_m=a_1\cdot q^{m - 1}[/tex]

Die geometrische [U]Reihe[/U] Sn ist die Summe der einzelnen Glieder der geometrischen Folge:

[tex](3) \qquad S_n=\sum_{m=1}^{n}a_m=a_1 \cdot \frac{q^n \, - \, 1}{q-1}[/tex]

Im Beispiel war gegeben:

[tex]S_1=2[/tex] und [tex]S_3=S_2+8 [/tex]

Aus (3) folgt:

[tex]a_1=2[/tex]

Ferner gilt aus (3):

[tex]s_3=s_2+8[/tex]

[tex]a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_2 + 8[/tex]

[tex]a_3=8[/tex]

in (2):

[tex]8=2 \cdot q^{(3-1)}[/tex]

[tex]4=q^2[/tex]

[tex]q_1=2 \qquad q_2=-2[/tex]

Die zweite Lösung hatte ich auch übersehen. Aber hiermit kannst Du nun über Formel (3) unmittelbar S7 ausrechnen.

Viele Grüße
Stefan

Vielen Dank!

Zu Formel 3: muss es nicht
[tex](3) \qquad S_n=\sum_{m=1}^{n}a_m=a_1 \cdot \frac{1 \, - \, q^n}{1-q}[/tex] lauten?

Wie ermittelst Du a1 direkt aus dieser Formel, ohne q zu kennen?
Muss man a1 überhaupt "berechnen", wenn [tex]S_1[/tex] gegeben ist? Nach meinem Verständnis entspricht [tex]a_1[/tex] immer [tex]S_1[/tex].

[tex]S_7[/tex] ist dann 254 und nicht 128, oder?

kathleen wrote:

Zu Formel 3: muss es nicht
[tex](3) \qquad S_n=\sum_{m=1}^{n}a_m=a_1 \cdot \frac{1 \, - \, q^n}{1-q}[/tex] lauten?

Beide Formeln drücken den gleichen Sachverhalt aus, welche man wählt ist reine Geschmackssache, da:

[tex]\frac{q^n \,- \, 1}{q-1}=\frac{-1}{-1} \cdot \frac{q^n \, - \, 1}{q-1}= \frac{- \, q^n \, + \, 1}{-q + 1} = \frac{1 - q^n}{1-q}[/tex]

Der Vorteil deiner Schreibweise ist jedoch, dass du nicht Gefahr läufst, die 1 bei dem Exponenten abzuziehen.\

Wie ermittelst Du a1 direkt aus dieser Formel, ohne q zu kennen?
Muss man a1 überhaupt "berechnen", wenn [tex]S_1[/tex] gegeben ist? Nach meinem Verständnis entspricht [tex]a_1[/tex] immer [tex]S_1[/tex].

Stimmt. Das folgt unmittelbar aus Formel (3). Da n=1 ist, fällt der Bruch weg (wird zu 1).\

[tex]S_7[/tex] ist dann 254 und nicht 128, oder?

Stimmt auch:

[tex]S_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=2+4+8+16+32+64+128=254[/tex]

(@ 128: das sind meine typischen Flüchtigkeitsfehler, die mir dann immer die Note versauen :rolleyes:)

Viele Grüße
Stefan