KE1: Grundlagen der Differential- und Integralrechnung

bin ganz neu hier. Und auch wenn das Semester noch nicht angefangen hat, aber ich komme eine gute Woche nicht zum lernen. Deshalb habe ich schon etwas vorgearbeitet.
Ich komme momentan zumindest eigentlich ganz gut hin mit den Differntialrechnungen. Aber nun stoße ich an eine Verständnisgrenze und hoffe hier jemanden zu finden, der mir die Augen öffnet. Es geht um die Ableitung der Funktion:
f'(x)= x^4-9x^2 / (x^2-3)^2. Als Lösung im Skript Seite 32 kommt raus:
f''(x)=6x^3+54x / (x^2-3)^3.
Wenn ich die Quotientenregel anwende mit h'(x)=f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) / g(x)^2, bedeutet dies doch:
(4x^3-18x)*(x^2-3)^2 - (x^4-9x^2)*2(x^2-3)*2x / ((x^2-3)^2)^2. Mit Zwischenschritt:
(4x^3-18x)*(x^4-6x^2+9) - (x^4-9x^2)*(4x^3-12x) / ((x^2-3)^2)^2.
Das sind dann:
4x^7-24x^5+36x^3-18x^5+108x^3-162x - 4x^7+12x^5+36x^5-108x^3) / (x^2-3)^4.
Alles zusammenfassen:
6x^5+36x^3-162x /(x^2-3)^4 # 6x^3+54x / (x^2-3)^3

Wo ist mein Dankfehler?
Vielen Dank vorab für jegliche Hilfe.