Kurseinheit 2 Seite 50 Aufgabe 32

U = X^0,8 * Y^0,4

B = 60 = 5 * X + 10 * Y

a)

Im Haushaltsoptimum verhalten sich die Grenznutzen wie die Güterpreise, also:

(dU/dX) / (dU/dY) = (0,8 * X^-0,2^ * Y^0,4) / (0,4 * X^0,8 * Y^-0,6) = 5/10

2 * Y/X = 1/2

Also gilt im Haushaltsoptimum: X = 4 * Y und Y = 1/4 * X

b)

X = 4 * Y und Y = 1/4 * X in die Budgetrestriktion eingesetzt ergibt:

60
= 5 * X + 10 * Y
= 5 * X + 10 * 1/4 * X ...// Y = 1/4 * X
= 15/2 * X

Also: X = 60 * 2/15 = 8

60
= 5 * X + 10 * Y
= 5 * 4 * Y + 10 * Y ...// X = 4 * Y
= 30 * Y

Also: Y = 60/30 = 2

Also gilt im Haushaltsoptimum: X = 8 und Y = 2.

Liebe Grüße

Das sich im Haushaltsoptimum Grenznutzen und Güterpreise gleich verhalten (2. Gossensches Gesetz) lässt sich für differenzierbare Nutzenfunktionen deren zweite Ableitung negativ ist (und damit der Extrempunkt ein Maximum ist) mit dem Lagrange-Ansatz zeigen (genau dass wird in der Lösung der Aufgabe in der Kurseinheit gemacht, aber für die konkrete gegebene Nutzenfunktion).

Es gilt allgemein:

Sei U Nutzenfunktion in den Gütern X und Y, zweimal differenzierbar und die zweite Ableitung negativ und sei px der Preis von Gut X und py der Preis von Gut y. Dann wird mit dem Lagrangeansatz U maximiert und dabei die Budgetrestriktion des Haushalts B = px * X + py * Y beachtet.

Langrangefunktion: L(l, X, Y) = U(X, Y) + l * (B - px * X - py * Y)

Nun die Maximumbedingungen (U sei zweimal differenzierbar und die zweite Ableitung sei stets negativ):

dL/dX = dU/dX - l * px = 0 also l = (dU/dX) / px

dL/dY = dU/dY - l * py = 0 also l = (dU/dY) / py

Also gilt im Nutzenmaximum: l = (dU/dX) / px = (dU/dY) / py

Und damit: (dU/dX) / (dU/dY) = px / py

Also: Die Grenznutzen verhalten sich wie die Güterpreise.

In der Lösung zu Aufgabe 32 auf Seite 188 KE 2 werden diese Lagrangeschritte mit der konkreten Nutzenfunktion drchgeführt anstatt direkt das 2. Gossensche Gesetz anzwenden:

dU/dX - l * px = 0 und

dU/dY - l * py = 0

für die konkrete Nutzenfunktion U = X^0,8 * Y^0,4 :

dU/dX - l * px = 0,8 * X^-0,2 * Y^0,4 - 5 * l = 0 und

dU/dY - l * py = 0,4 * X^0,8 * Y^-0,6 - 10 * l = 0

Und dann:

0,8 * X^-0,2 * Y^0,4 = 5 * l

0,4 * X^0,8 * Y^-0,6 = 10 * l

Und dann dividieren (l kürzt sich weg):

(0,8 * X^-0,2 * Y^0,4) / (0,4 * X^0,8 * Y^-0,6) = 5/10

2 * Y/X = 1/2

X = 4 * Y

Liebe Grüße

Für U = X^0,8 * Y^0,4 lässt sich der X-Y-Zusammenhang im Haushaltsoptimum auch über die Grenzrate der Substitution der Güter ermitteln. Auf der Indifferenzkurve, ist das totale Differential 0, weil je zwei Güterbündel auf der Indifferenzkurve denselben Nutzenwert haben, also:

(dU/dX) * dX + (dU/dY) * dY = 0

dX/dY = - (dU/dY) / (dU/dX) =[/COLOR] - Preis Gut Y / Preis Gut X ...// 2. Gossensche Gesetz im Haushaltsoptimum[/COLOR]

Also gilt im Haushaltsoptimum: dX/dY = - Preis Gut Y / Preis Gut X

dX/dY ist die (vorzeichenbehaftete) Grenzrate der Substitution von Gut X durch Gut Y

Für U = X^0,8 * Y^0,4 :

X^4/5 = U * Y^-2/5

X = U^5/4 * Y^-1/2

dX/dY
= -1/2 * U^5/4 * Y^-3/2
= -1/2 * (X^4/5 * Y^2/5)^5/4 * Y^-3/2
= -1/2 * X * Y^1/2 * Y^-3/2
= -1/2 * X/Y

dX/dY = -1/2 * X/Y = -10/5 (= - Preis Gut Y / Preis Gut X)

X = 4 * Y

Liebe Grüße

Für U = X^0,8 * Y^0,4 :

X^4/5 = U * Y^-2/5

X = U^5/4 * Y^-1/2

Soweit konnte ich dir noch Folgen:

dX/dY
= -1/2 * U^5/4 * Y^-3/2
= -1/2 * (X^4/5 * Y^2/5)^5/4 * Y^-3/2
= -1/2 * X * Y^1/2 * Y^-3/2
= -1/2 * X/Y

dX/dY = -1/2 * X/Y = -10/5 (= - Preis Gut Y / Preis Gut X)

X = 4 * Y

.....
Aber wie kommst du auf -1/2*U^5/4*Y^-3/2 ???? Das müsstest du mir mal erläutern.

Ich hab keine Ahnung wo die -1/2 herbekommen hast oder die Y^-3/2

Da bräuchste ich mal deine Erleuchtung bitte

Mark.Anthony wrote:

.....
Aber wie kommst du auf -1/2*U^5/4*Y^-3/2 ???? Das müsstest du mir mal erläutern.

Ich hab keine Ahnung wo die -1/2 herbekommen hast oder die Y^-3/2

Da bräuchste ich mal deine Erleuchtung bitte

Danke

Es ist X = U^5/4 * Y^-1/2 die Indifferenzkurve. Sie gibt die X-Y-Mengenkombinationen an, mit denen der Haushalt den Nutzen U (beliebig aber fest gewählt) erreicht.

Nun ist dX/dY die Ableitung von X nach Y, d.h. die Steigung der Indifferenzkurve im Punkt (Y, X = U^5/4 * Y^-1/2), d.h. die (vorzeichenbehaftete) Grenzrate der Substitution von Gut X durch Gut Y.

Die Ableitung dX/dY von X nach Y wird nun mit den üblichen Ableitungsregeln gebildet:

X = U^5/4 * Y^(-1/2)[/COLOR]

dX/dY = U^5/4 * -1/2 * Y^(-1/2 - 1)[/COLOR] = -1/2 * U^5/4 * Y^(-3/2)

Verwendete Ableitungsregel: d(a * Y^b[/COLOR]) / dY = a * b * Y^(b-1)[/COLOR]

Liebe Grüße

Ah is Klar. Also Ableiten ist hier das magische Stichwort.