Kurseinheit 3 Öffentliche Güter Übungsaufgabe 8

Das hoch - 0,5 gehört natürlich zu Xöff...:ka:

und jetzt kommt noch das dicke Ende. Ich glaub heut ist irgendwie nicht mein Tag!:auweia:
Wie kommen die im Skript denn von

(Löff)hoch 0,5 = (L -Löff) *0,5 *(Löff)hoch -0,5

auf Löff = L / 3 ???:verdaecht

Wer kann mir das erklären.
Vielen Dank
Bettina

Powerpuffgirl wrote:

Wenn ich die 1. Ableitung nach Xöff bilde bekomme ich

-0,5
X1priv - lamda1*0,5(Xöff) + lamda2 = 0\

Hallo Bettina, das ist ein einfacher Umformungstrick.
Erstmal ist Deine Ableitung nicht ganz richtig, Du hast nämlich im Mittleren Term das [tex]X^{priv}_2[/tex] vergessen. Das ist ja multiplikativ mit dem [tex]X^{Oeff}[/tex] verknüpft. Die Ableitung lautet also richtig:

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5(X^{Oeff})^{-0,5}(X^{priv}_2)^{0,5}+\lambda_2[/tex]

Der mittlere Term lässt sich auch so schreiben:

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5\frac{(X^{priv}_2)^{0,5}}{(X^{Oeff})^{0,5}}+ \lambda_2[/tex]

Wenn Du diesen Bruch mit [tex](X^{Oeff})^{0,5}[/tex] erweiterst, bekommst Du

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5\frac{(X^{priv}_2)^{0,5}(X^{Oeff})^{0,5}}{(X^{Oeff})^{0,5}(X^{Oeff})^{0,5}}+\lambda_2[/tex]

Jetzt die Exponenten ordnen: im Zähler kannst Du die Exponenten aus der Klammer rausziehen und für den Nenner gilt, dass die Exponenten bei gleicher Basis addiert werden können. Du bekommst also:

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5\frac{[(X^{priv}_2)(X^{Oeff})]^{0,5}}{(X^{Oeff})^{1}}+\lambda_2[/tex]

Der Term in Zähler ist nun genau das, als was [tex]U_2[/tex] definiert ist.

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5\frac{\overline{U}_2}{(X^{Oeff})^{1}}+\lambda_2[/tex]

Und wenn Du das Ganze nicht als Bruch schreibst, bekommst Du die gegebene Lösung.

Nur der Vollständigkeit halber...mich hat die Lösung im Skript auch sehr geärgert. Man kommt auch leicht auf das Endergebnis, wenn man diesen "Trick" nicht macht. Einfach die 4 Ableitungen umstellen und ineinander einsetzen bis alle lambdas verschwunden sind. Funktioniert genauso gut.
Gruß
Denis.

Vielen Dank,
hast mir echt weitergeholfen!:danke:
Bettina

kann mir bitte jemand erklären, wie man auf die gleichung (5) die ja aus (1)(2)und (3)folgen soll kommt ? KE 3 Seite 56 Aufg.8
Was heißt denn das "folgt" ??? gleichsetzen...???

Auf Gleichung (6) kommt man ja wenn man (2)und(4) gleichsetzt.

...und dann genauso unverständlich wie kommen die im Skript denn von

(Löff)hoch 0,5 = (L -Löff) *0,5 *(Löff)hoch -0,5

auf L*öff = L / 3 ???

Komm leider mit der Aufgabe mal so gar nicht klar !!!:confused:

Viele Grüsse
Thomas*

Tom wrote:

Hallo,

kann mir bitte jemand erklären, wie man auf die gleichung (5) die ja aus (1)(2)und (3)folgen soll kommt ? KE 3 Seite 56 Aufg.8
Was heißt denn das "folgt" ??? gleichsetzen...???
[/I]

aus (2) folgt
[tex]
x^{oeff}=\lambda_3
[/tex]
dies in (3) eingesetzt ergibt
[tex]
\lambda_1=\frac{-2x^{oeff}x_{2}^{priv}}{U_2}
[/tex]
Das wiederrum in (1) ergibt
[tex]
x_1^{priv}+\frac{2x^{oeff}x_{2}^{priv}}{U_2}*0.5(x^{oeff})^{-1}U_2+\lambda_2
[/tex]

Kürzen etc, fertig.

...und dann genauso unverständlich wie kommen die im Skript denn von
(Löff)hoch 0,5 = (L -Löff) *0,5 *(Löff)hoch -0,5
auf L*öff = L / 3 ???*

Beide Seiten der Gleichung mit [tex](L^{oeff})^{1/2} [/tex] multiplizieren.

Gruß,
Denis.

Denis,

vielen dank für deine Hilfe, hast mir sehr geholfen !

Könntest du mir netterweise noch erklären, wie die rechte seite der
Gleichung multipliziert mit [IMG]https://www.studienservice.de/cgi-bin/mimetex.cgi?%28L%5E%7Boeff%7D%29%5E%7B1/2%7D[/IMG] aussieht.
Komme da einfach nicht auf L/3 und hab schon alles durchprobiert !!!

(Löff)hoch 0,5 = (L -Löff) *0,5 *(Löff)hoch -0,5\

Viele Grüße
Thomas

Klaro:
[tex]
(L^{oeff})^{0.5}=(L-L^{oeff})*0.5*(L^{oeff})^{-0.5} \\
\rightarrow (L^{oeff})^{0.5}*(L^{oeff})^{0.5}=(L-L^{oeff})*0.5*(L^{oeff})^{-0.5}*(L^{oeff})^{0.5} \\
L^{oeff}=(L-L^{oeff})*0.5
[/tex]

Wenn Du Schwierigkeiten mit den Potenzgesetzen hast...irgendwas hoch 0.5 ist das selbe wie die Quadratwurzel aus irgendwas, vielleicht findest Du es so verständlicher. Gruß
Denis

Denis,

vielen dank für die schnelle antwort!!!
Bringt mich um einiges weiter!

Als hoffentlich letzte Frage stellt sich mir jetzt noch , wie ich von
L öff = (L-L öff)*0,5 auf L/3 komme ??? Sehe ich irgenwas nicht oder...?:peinlich:

[IMG]https://www.studienservice.de/cgi-bin/mimetex.cgi?%3Cbr%20/%3E%28L%5E%7Boeff%7D%29%5E%7B0.5%7D=%28L-L%5E%7Boeff%7D%29*0.5*%28L%5E%7Boeff%7D%29%5E%7B-0.5%7D%20%5C%5C%3Cbr%20/%3E%5Crightarrow%20%28L%5E%7Boeff%7D%29%5E%7B0.5%7D*%28L%5E%7Boeff%7D%29%5E%7B0.5%7D=%28L-L%5E%7Boeff%7D%29*0.5*%28L%5E%7Boeff%7D%29%5E%7B-0.5%7D*%28L%5E%7Boeff%7D%29%5E%7B0.5%7D%20%5C%5C%3Cbr%20/%3EL%5E%7Boeff%7D=%28L-L%5E%7Boeff%7D%29*0.5%3Cbr%20/%3E[/IMG]

vielen dank
gruß
Thomas

*räusper* na jetz aber...

[tex]
L^{oeff}=\frac{1}{2}(L-L^{oeff}) \\
2*L^{oeff}=L-L^{oeff} \\
3*L^{oeff}=L \\
L^{oeff}=\frac{1}{3}L
[/tex]

morgaeaen !!!

peinlich peinlich !!!vielen Dank !!!

ciao
Thomas

Wald und Bäume...passiert mir in dem Kurs hier auch dauernd :)
Gruß
Denis.

n

irgendwie bekomme ich die partielle Ableitung nach Xöff nicht gebacken.

Warum lautet diese:
Ableitung nach Xöff: X1 priv - lamda 0,5(Xöff)[COLOR=Red]-1U2[/COLOR] + lamda2

Ich verstehe, dass -1 nicht, den 0,5 abgeleitet ergibt für mich -0,5

und U2 würde bei mir wegfallen.

Habe ich hier etwas übersehen?:confused

Nö, passt schon,
nach der Ableitung fällt ja U2 raus, in der Musterlösung hat er es aber wieder mit hineingequetscht über die Beziehung U2=(xöff*x2priv)^(0.5). Kann man machen, muß man aber nicht. Ich habe die Aufgabe ursprünglich so gerechnet wie Du, dann taucht bis zum Endergebnis U2 überhaupt nicht mehr auf, rechne es einfach mal konsequent weiter. Gruß
Denis

Edit: irgendwo weiter oben hab ich das mal kurz erwähnt

danke für deine Hilfe und den Hinweis.

Auch ich habe bei dieser Aufgabe so meine kleinen Problemchen:
Also, ich bin jetzt mal (anders als ihr) von der Optimalitätsbedingung
[tex]GRT(X^{Priv},X^{oeff}) = GRS_1(X_1^{priv},X^{oeff}) + GRS_2(X_2^{priv},X^{oeff})[/tex] ausgegangen und habe dann versucht über diesen Weg die Menge [tex]X^{oeff}[/tex] auszurechnen:
(sollte in der Klausur ja auch erlaubt sein, wenn da nicht steht, dass man die Optimalitätsbedingung herleiten soll)

Also die GRT ist ja klar, die GRS entspricht doch dem umgekehrten negativen Verhältnis der Grenznutzen. Gehen dann in obige Gleichung die GRS mit einem negativen oder positiven Vorzeichen ein?
Bei einem positiven Vorzeichen käme bei mir, nach dem Ausrechnen von GRT und GRS folgendes heraus:

[tex]\frac{1}{0,5*L^{oeff}^{-0,5}}= \frac{X_1^{priv}}{X^{oeff}} + \frac{X_2^{priv}}{X^{oeff}}[/tex]

dies kann man dann wiederum schreiben als
[tex]\frac{1}{0,5*L^{oeff}^{-0,5}}= \frac{X^{priv}}{X^{oeff}} [/tex]

stellt man diese Gleichung nun nach [tex]X^{oeff}[/tex] um, so ergibt dies:

[tex]X^{oeff} = \frac{1}{2} * X^{priv} * L^{oeff}^{-0,5} [/tex]

Das ist aber irgendwie eine andere Lösung, als in der Musterlösung angegeben ?????

Yeah geile Idee, da hab ich noch nie dran gedacht... hab das Ganze grad mal nachgerechnet (während Du noch am editieren warst :D ) und bin unabhängig zur selben Lösung gekommen. Dein Weg ist ne ganze Ecke einfacher und weniger fehleranfällig als die Lösung über die Lagrange-Funktion. Respekt!
Gruß
Denis.

denis wrote:

Yeah geile Idee, da hab ich noch nie dran gedacht... hab das Ganze grad mal nachgerechnet (während Du noch am editieren warst :D ) und bin unabhängig zur selben Lösung gekommen. Dein Weg ist ne ganze Ecke einfacher und weniger fehleranfällig als die Lösung über die Lagrange-Funktion. Respekt!
Gruß
Denis.

Edit: stell am Ende nicht nach X^oeff , sondern nach L^oeff:

[tex]
\frac{1}{0.5(L^{oeff})^{-0.5}}=\frac{x^{priv}}{x^{oeff}}=\frac{L^{priv}}{(L^{oeff})^{0.5}} \\
\rightarrow 2L^{oeff}=L-L^{oeff}
[/tex]
usw

denis wrote:

Edit: stell am Ende nicht nach X^oeff , sondern nach L^oeff:

[tex]
\frac{1}{0.5(L^{oeff})^{-0.5}}=\frac{x^{priv}}{x^{oeff}}=\frac{L^{priv}}{(L^{oeff})^{0.5}} \\
\rightarrow 2L^{oeff}=L-L^{oeff}
[/tex]
usw

Hi Denis!
Wie kommst Du denn auf [tex]\frac{X^{priv}}{X^{oeff}} = \frac{L^{priv}}{L^{oeff}^{0,5}} [/tex] ????

Das sind die Gleichungen c) und d) aus der Aufgabenstellung. Übrigens kommt man von Deinem letzten Post auch auf die Lösung für x^oeff, ist nur etwas umständlicher.Gruß
Denis.

OK, vielen Dank, hab´s jetzt ;)
Ist das hier ein "Formelyoga" ;)
Viele Grüße
Alex

Mit Lagrange bin ich gescheitert, aber die neue Möglichkeit des Berechnens (Danke Alka) macht mir Mut ;) Ich verstehe sie zwar noch nicht, aber sie scheint einfacher zu sein.

Aber als erstes noch eine andere Frage. Ihr schreibt die Formeln immer so gut auf. Geht das mit dem Formel-Editor? Wenn ja, wo gibts den?

So, nun zu der Aufgabe.
GRT = GRS + GRS

GRT gibt die Grenzkosten der Produktion des öffentlichen Gutes an. Wenn ich die Produktionsfunktion für das rein öffentl. Gut (Gleichung c) ableite, so komme ich auf 0,5*Löff^-0,5. Wie kommt man denn auf 1/(0,5*Löff^-0,5)?

GRS zeigt die marginale Zahlungsbereitschaft des Konsumenten für das öffentl. Gut (in Einheiten des privaten Gutes ausgedrückt). Muss ich dann die Nutzenfunktion (Gleichung a und b) nehmen? Wie komme ich auf (x1priv/xöff)+(x2priv/xöff)?

Viele Grüße
Silvia

Silvia77 wrote:

Aber als erstes noch eine andere Frage. Ihr schreibt die Formeln immer so gut auf. Geht das mit dem Formel-Editor? Wenn ja, wo gibts den? \

Nein, das ist TeX. Eigentlich ein Satzsystem für wissenschaftliche Arbeiten (sehr zu empfehlen), aber die Befehle, mit denen man in TeX mathematische Formeln schreibt, kann man auch hier verwenden. Wie das geht, liest Du [url="#?t=23540"]hier[/url].

Silvia77 wrote:

Guten Morgen!
Mit Lagrange bin ich gescheitert, aber die neue Möglichkeit des Berechnens (Danke Alka) macht mir Mut ;) Ich verstehe sie zwar noch nicht, aber sie scheint einfacher zu sein. \

Dieser Weg basiert aber auf der Lagrange-Methode, wenn Du Dir die Herleitung auf den Seiten 19-20 anschaust... Man spart sich allerdings einige Schritte.

GRT = GRS + GRS
GRT gibt die Grenzkosten der Produktion des öffentlichen Gutes an. Wenn ich die Produktionsfunktion für das rein öffentl. Gut (Gleichung c) ableite, so komme ich auf 0,5*Löff^-0,5. Wie kommt man denn auf 1/(0,5*Löff^-0,5)?
GRS zeigt die marginale Zahlungsbereitschaft des Konsumenten für das öffentl. Gut (in Einheiten des privaten Gutes ausgedrückt). Muss ich dann die Nutzenfunktion (Gleichung a und b) nehmen? Wie komme ich auf (x1priv/xöff)+(x2priv/xöff)?
Viele Grüße
Silvia

Hm nee..nicht ganz. Ich zeig Dir mal den Anfang, dann musst nur noch ableiten:
[tex]
GRT=\frac{ \frac{\partial X^{priv}}{\partial L^{priv}}}{ \frac{\partial X^{oeff}}{\partial L^{oeff}}}\\
GRS^{(1)}=\frac{\frac{\partial U_1}{\partial X^{oeff}}}{\frac{\partial U_1}{\partial x_1^{priv}} } \\
GRS^{(2)}=\frac{\frac{\partial U_2}{\partial X^{oeff}}}{\frac{\partial U_2}{\partial x_2^{priv}} }
[/tex]

Gruß
Denis.

echt super, der Weg über die Grenzraten der Transformation und Substitution...
Ist deutlich schneller und weniger fehleranfällig.:super:

Bettina

Hm nee..nicht ganz. Ich zeig Dir mal den Anfang, dann musst nur noch ableiten:
[tex]
GRT=\frac{ \frac{\partial X^{priv}}{\partial L^{priv}}}{ \frac{\partial X^{oeff}}{\partial L^{oeff}}}\\
GRS^{(1)}=\frac{\frac{\partial U_1}{\partial X^{oeff}}}{\frac{\partial U_1}{\partial x_1^{oeff}} } \\
GRS^{(2)}=\frac{\frac{\partial U_2}{\partial X^{oeff}}}{\frac{\partial U_2}{\partial x_2^{oeff}} }
[/tex]

Gruß
Denis.[/quote]

Hi Denis,
hm, muss bei GRS^2 dU2 nicht nach dx2priv und bei GRS^1 dU1 nach dx1priv abgeleitet werden?
Ich verstehe leider immer noch nur Bahnhof. Meinst du, du könntest mir bitte die einzelnen Schritte auf schreiben. (Ableiten ist leider auch nicht meine Stärke). Das wäre wirklich klasse.
Viele Grüße
Silvia

Ui Du hast natürlich recht mit den Formeln für GRS1 und GRS2. Hab das oben geändert damit nicht noch jemand drüber stolpert (sowas kommt vom copy&paste :)) Hier noch einmal alles Schritt für Schritt. Leg Dir die Gleichungen aus der Aufgabenstellung dazu, damit Du die Ableitungen nachvollziehen kannst.Das hier ist freilich keine allgemeingültige Lösung für alle Aufgaben dieser Art.
Zuerst GRT:
[tex]
\frac{\partial X^p}{\partial L^p}=1\\
\frac{\partial X^o}{\partial L^o}=0.5*(L^o)^{-0.5} \rightarrow GRT=\frac{1}{0.5*(L^o)^{-0.5}}\\
[/tex]

jetzt GRS1:
[tex]
\frac{\partial U_1}{\partial X^o}=X_1^{p}\\
\frac{\partial U_1}{\partial X_1^p}=X^o \rightarrow GRS^{(1)}=\frac{X_1^p}{X^o}\\
[/tex]

jetzt GRS2:
[tex]
\frac{\partial U_2}{\partial X^o}=0.5*X_2^p*(X^o)^{-0.5}\\
\frac{\partial U_2}{\partial X^p}=0.5*X_2^o*(X^p)^{-0.5}\\
\rightarrow GRS^{(2)}=\frac{0.5(X_2^p)^{0.5}*(X^o)^{-0.5}} {0.5(X^o)^{0.5}*(X_2^p)^{-0.5}}
=\frac{X_2^p} {X^o}
[/tex]

Damit wird aus GRT=GRS1+GRS2:

[tex]
\frac{1}{0.5*(L^o)^{-0.5}}=\frac{X_1^p}{X^o}+\frac{X_2^p} {X^o}\\
2(L^o)^{0.5}=\frac{X^p}{X^o}=\frac{L^p}{(L^o)^{0.5}}\\
\rightarrow 2L^o=L^p=L-L^o \rightarrow L^o=\frac{1}{3}L
[/tex]

Denis,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Sie hat mir wirklich schon sehr weitergeholfen.

Wie man nun auf GRT =GRS1+GRS2 kommt, habe ich verstanden, aber dann geht das Umformen los :confused:

Wie kommst du von x1^p/x^° + x2^p/x^°auf x^p/x^°?
Kommst du von x^p/x^° auf L^p/(L^°)^0,5 weil du für x^p und für x^° die Produktionsfunktionen dafür einsetzt?
Und wie kommst du dann auf 2L^°=L^p=L-L^°->L^°=1/3L?
Ich denke, dass hier mir meine Mathekünste bzgl. Umstellen versagen?!

Schöne Grüße
Silvia

Schau in die Aufgabenstellung, alle Umformungen die ich gemacht habe stehen dort, bzw Du hast Sie schon selber erkannt (zB Einsetzen der Produktionsfunktion). Auch die Umformung ganz am Ende sind in diesem Thread schon erklärt. Gruß
Denis.

Denis,

ich denke, ich habs jetzt verstanden.

Danke für deine ganzen Erklärungen!!

Viele Grüße
Silvia

Da diese Erklärungen auch in diesem Semester super hilfreich sind (danke!), möchte ich dieses Thread mithilfe dieses Kommentars wieder mal nach vorne rücken, damit die m. E. viel einfachere Lösung, sollte so eine Aufgabe im September drankommen, genutzt werden kann.

lg. Angela

Super - daran habe ich auch etwas geknabbert :D - bin aber dann selber daraufgekommen - allerdings hat´s mir auch Zeit gekostet und wenn ich dieses Posting früher gesehen hätte ... (hätte ich sie anderweitig genutzt :p)

kridbonn wrote:

Hallo Bettina, das ist ein einfacher Umformungstrick.
Erstmal ist Deine Ableitung nicht ganz richtig, Du hast nämlich im Mittleren Term das [tex]X^{priv}_2[/tex] vergessen. Das ist ja multiplikativ mit dem [tex]X^{Oeff}[/tex] verknüpft. Die Ableitung lautet also richtig:

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5(X^{Oeff})^{-0,5}(X^{priv}_2)^{0,5}+\lambda_2[/tex]

Der mittlere Term lässt sich auch so schreiben:

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5\frac{(X^{priv}_2)^{0,5}}{(X^{Oeff})^{0,5}}+ \lambda_2[/tex]

Wenn Du diesen Bruch mit [tex](X^{Oeff})^{0,5}[/tex] erweiterst, bekommst Du

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5\frac{(X^{priv}_2)^{0,5}(X^{Oeff})^{0,5}}{(X^{Oeff})^{0,5}(X^{Oeff})^{0,5}}+\lambda_2[/tex]

Jetzt die Exponenten ordnen: im Zähler kannst Du die Exponenten aus der Klammer rausziehen und für den Nenner gilt, dass die Exponenten bei gleicher Basis addiert werden können. Du bekommst also:

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5\frac{[(X^{priv}_2)(X^{Oeff})]^{0,5}}{(X^{Oeff})^{1}}+\lambda_2[/tex]

Der Term in Zähler ist nun genau das, als was [tex]U_2[/tex] definiert ist.

[tex]\frac{\partial\Lambda}{\partial X^{Oeff}}= X^{priv}_1 -\lambda_1 0,5\frac{\overline{U}_2}{(X^{Oeff})^{1}}+\lambda_2[/tex]

Und wenn Du das Ganze nicht als Bruch schreibst, bekommst Du die gegebene Lösung. :)

Mal eine andere Frage:

Was ist hier denn der Unterschied zwischen [tex]U_{2}[/tex] und [tex]\overline{U_{2}}[/tex]?

Gar keiner. Der Strich soll nur darauf hinweisen, dass man die den Zähler mit U2 umschreibt, und U 2 Strich vorgegeben ist.