Linearkombination Frage

Also ich lerne mit Fabianka und weiß nicht ob das da auch so drin steht.

Ich verstehe das so...

Den Vektor v1 multiplizierst du mit einer Zahl a und den Vektor v2 mit der Zahl b. Diese beiden Resultate addierst du dann, und es kommt Vektor 3 heraus

Beispiel müsste so aussehen.

5 * (1 2 3) + 3 * (4 5 6) = (5 10 15) + (12 15 18) = (17 25 33)

5 * und 3 * ist dein a und b. Und (1 2 3) und (4 5 6) ist v1 + v2.

v3 = (17 25 33)

Gegeben sind die Vektoren
a = (2,1,0)_T
b = (0,2,3)_T
c = (6,-1,-6)_T
Frage: Existiert zu dem Vektor x eine eindeutige Koordinatendarstellung bzw. Linearkombination bzgl. der Vektoren a, b, c ?

Also, ich meine, dass keine eindeutige Linearkombination existiert, weil die Vektoren zusammen linear abhängig sind (Determinante = 0). Denn alle Elemente eines Vektorraumes lassen sich ja eindeutig durch Linearkombination der linear unabhängigen Elemente seiner Basis darstellen.

???

Die Linearkombination ist 3a-2b=c
6a-4b=2c, wäre auch eine Linaerkombination ist aber ein vielfaches der ersten.

Wenn man jetzt nur a und b hätte sieht man diese voneinander linear unabhängig sind. c lässt sich aber mit a und b darstellen und ich bin der Meinung das die Linearkombination 3a-2b=c eindeutig ist, lass mich aber auch gerne vom Gegenteil überzeugen.

mad wrote:

Frage: Existiert zu dem Vektor x eine eindeutige Koordinatendarstellung bzw. Linearkombination bzgl. der Vektoren a, b, c ?

Kann man so nicht sagen, ohne x zu kennen. Ist das eine Original-Aufgabenstellung? Ich denke mal da ist sowas wie "zu jedem [tex]x\in\mathbb{R}^3[/tex]" gemeint. Dann ist die Antwort, wie du schon richtig herausgefunden hast, nein, da die drei Vektoren linear abhängig sind und damit keine Basis darstellen können.

Mareike88 wrote:

Die Linearkombination ist 3a-2b=c
6a-4b=2c, wäre auch eine Linaerkombination ist aber ein vielfaches der ersten.
Wenn man jetzt nur a und b hätte sieht man diese voneinander linear unabhängig sind. c lässt sich aber mit a und b darstellen und ich bin der Meinung das die Linearkombination 3a-2b=c eindeutig ist, lass mich aber auch gerne vom Gegenteil überzeugen.

Es gibt noch a = LK(b,c). Das wäre dann 2/3b + 1/3c = a.

chris* wrote:

Kann man so nicht sagen, ohne x zu kennen. Ist das eine Original-Aufgabenstellung? Ich denke mal da ist sowas wie "zu jedem [tex]x\in\mathbb{R}^3[/tex]" gemeint. Dann ist die Antwort, wie du schon richtig herausgefunden hast, nein, da die drei Vektoren linear abhängig sind und damit keine Basis darstellen können.

Die Aufgabe war ein Beispiel aus einer Mentorenveranstaltung, stand an der Tafel. Da die Vektoren aus dem R³ sind, gehe ich auch davon aus, dass zu jedem [tex]x\in\mathbb{R}^3[/tex]" gemeint ist.