Mathematische Grundlagen Zusätzliche Aufgaben

Ich belege das Modul nicht. Wie lautet denn die Aufgabe? Ich nehme an ein Induktionsbeweis.

Liebe Grüße

ja ein Induktionsbeweis.
Hier die Aufgabe:
Für alle n größer gleich 5 gilt 2hoch n größer n²

Ich löse so:

Behauptung: Für alle x >= 5 gilt: 2^n > n^2

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang: n = 5

2^5
= 32
> 25
= 5^2

Induktionsschritt: n -> n+1, Behauptung gelte für n.

2^(n+1)
= 2 * 2^n
> 2 * n^2 ................// Induktionsvoraussetzung 2^n > n^2
> n^2 + 2 * n + 1 ....// Lemma, Beweis s.u.
= (n+1)^2 ..............// Binomische Formel

Lemma: 2 * n^2 > n^2 + 2 * n + 1 für n >= 5

Beweis des Lemmas durch Induktion:

Induktionsanfang n = 5:

2 * 5^2
= 50
> 36
= 5^2 + 2 * 5 + 1

Induktionsschritt n -> n+1, Behauptung gelte für n:

2 * (n+1)^2
= 2 * (n^2 + 2 * n + 1)
= 2 * n^2 + 4 * n + 2
> n^2 + 2 * n + 1 + 4 * n + 2 ..........// Anwendung Induktionshypothese für n
= n^2 + 6 * n + 3
= (n+1)^2 + 4 * n + 2 ....................// Binomische Formel
= (n+1)^2 + 2 * (n+1) + 2 * n
> (n+1)^2 + 2 * (n+1) + 1 ..............// klar, n >= 1, d.h. 2 * n > 1

Liebe Grüße

Was ich verstanden habe ist, dass ich beweisen soll, dass 2^n+1 größer ist als (n+1)²
2^n+1 kann ich schreiben als 2*2^n klar.
dann folgt:
>2(n^2) weil ich jetzt 2^n durch n^2 ersetze.
jetzt aber steht in der Aufgabenlösung
>= n^2+2n+3 und hier verstehe ich ncht wie man darauf kommt, dass ich n^2 durch 2n+3 ersetzen kann.

Sorin2006 wrote:

>2(n^2) weil ich jetzt 2^n durch n^2 ersetze.
jetzt aber steht in der Aufgabenlösung
>= n^2+2n+3 und hier verstehe ich ncht wie man darauf kommt, dass ich n^2 durch 2n+3 ersetzen kann.

Steht in der Lösung: 2 * n^2 >= n^2 + 2n + 3 ?

Das stimmt doch. Siehe das Lemma in meiner Lösung oben. Beweis durch Induktion.

Schreibe doch mal die Lösung ab.

Liebe Grüße

Sorin2006 wrote:

2 hoch n+1 = n²+n²
aber wie bitte komme ich dann auf n² + 2n+3?
?

Steht in der Lösung n^2 + n^2 >= n^2 + 2 * n + 3 ?

Die Ungleichung ist richtig. Das kann auch mit Induktion bewiesen werden. Siehe mein Beweis oben.

Ich beweise aber n^2 + n^2 >= n^2 + 2 * n + 1, das "reicht aus".

Liebe Grüße

Ne sorry bei mir hakt es irgendwo.
Wenn ich die mit den anderen Aufgaben vergleiche, komme ich einfach nicht drauf.

Und wie kommst du darauf, dass n>0 ist?

Entschuldige, wenn ich mich jetzt zu blöd anstelle, aber alle anderen Aufgaben verstehe ich, aber die nicht.

Ubung 23. Sei n0 = 5. Dann gilt 25 = 32 und 52 = 25, also 25 > 52, der Induktionsanfang.
Induktionsannahme: Für ein n>= � 5 gilt 2^n > n^2.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist
2n > n2 => 2^n+1 > (n + 1)2 = n^2 + 2n + 1:
Es gilt
[COLOR=#ff6600]2^n+1 = 2 �* 2n[/COLOR]
[COLOR=#ff6600]> 2(n^2) = n^2 + n^2[/COLOR]
�>= n^2 + 2n + 3 mit der ersten Aufgabe in diesem Kapitel. Wenn Sie diese nicht
zitieren wollen, müssen Sie n^2 >=� 2n + 1 für alle n>= � 5 mit Induktion beweisen.
> n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2:
Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt, dass 2^n > n^2 für alle n elemnt N, >=� 5, gilt

Ubung 20. Sei n0 = 3. Dann gilt 3^2 = 9 und 2 *� 3 + 3 = 9, also 3^2 � 2 �* 3 + 3, der
Induktionsanfang.
Induktionsannahme: Für ein n>=� 3 gilt n^2 >=� 2n + 3.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist
n^2 �>= 2n + 3 => (n + 1)^2>= � 2(n + 1) + 3 = 2n + 5:
Es gilt
[COLOR=#ff0000](n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1[/COLOR]
[COLOR=#ff0000]� >=(2n + 3) + 2n + 1 Induktionsannahme fur n2[/COLOR]
� >=(2n + 3) + 7; da n>= � 3
> 2n + 5
Mit dem Prinzip der vollstandigen Induktion folgt, dass n^2 � 2n+3 alle n element N, n>= � 3, gilt.

Noch einmal der Versuch:
Die rotmarktierten Stellen sind doch dieselben Schritte.
Bei der Übung 20 ersetze ich n^2 und bei 2n+1 nehme n gleich 3, klar.

Analog zur Übung 23 habe ich ja auch 2^n ersetzt und jetzt bekomme ich
n^2+n^2 und jetzt?

Sorin2006 wrote:

Und wie kommst du darauf, dass n>0 ist?

Es wird doch nur n > 5 betrachtet.

Liebe Grüße

ChrissiLLB wrote:

Steht in der Lösung: n^2 >= n^2+2n+3 ?

Das stimmt doch. n^2 wird nicht ersetzt (steht doch immer noch da), sondern zu n^2 wird ein Term > 0 (+2n+3) hinzuaddiert.

Schreibe doch mal die Lösung ab.

Liebe Grüße
Chrissi

Ok wo kommt denn der Term 2n+3 her?

Sorin2006 wrote:

Ok wo kommt denn der Term 2n+3 her?

Das ist die mathematische Überlegung, die kommt also aus dem Kopf. Da ist die mathematische "Kreativität", die der Mensch einsetzen muss, um mathematische Beweise zu konstruieren. Das Ziel ist es ja einen Term zu finden, mit dem man eine Brücke zu (n+1)^2 schlägt.

Wegen solcher Zwischenschritte "die aus dem Himmel" fallen, gibt es bis heute keinen vollständig automatischen Beweiser, sondern höchstens halbautomatische, bei denen der Mensch als Ideengeber eine Sackgasse des Beweisers mittels Vorgabe eines Lemmas "überbrücken" kann. Das Lemma wird dann auch vom Beweiser bearbeitet, möglicherweise wieder mit menschlichem Lemma-Eingriff.

Liebe Grüße
Christian

Sorin2006 wrote:

[COLOR=#ff6600]> 2(n^2) = n^2 + n^2[/COLOR]
�>= n^2 + 2n + 3 mit der ersten Aufgabe in diesem Kapitel. Wenn Sie diese nicht
zitieren wollen, müssen Sie n^2 >=� 2n + 1 für alle n>= � 5 mit Induktion beweisen.\

Hier steht doch auch in der Lehrstuhllösung, dass dieser Zusammenhang wieder mit Induktion bewiesen werden muss. Die kreative Überlegung dieses Zusammenhangs muss aber von Dir kommen.

Liebe Grüße

Ok alles klar.
Dann