Mengentheoretische Durchschnitt

Hmm ich würde sagen du musst dir nur die Anzahl der Variablen und die Anzahl der "linear unabhängigen" Gleichungen anschauen.

du hast 3 Variablen und nur 2 l.u. Gleichungen: 3-2=1 => der Durchschnitt ist eine Gerade, wäre das Ergebnis 0, wäre es ein Punkt.

Genau wie Katzelu schon erklärt hat. Für visuelle Lerner - ich habs mir so gemerkt:

Variablen - Gleichungen = Dimension
----------------------------------
n - m = Dimension
3 - 1 = 2 -> Ebene (2D Hyperraum)
3 - 2 = 1 -> Gerade (1D Hyperraum)
3 - 3 = o -> Punkt (Degenerierter Hyperraum)

Was passiert, wenn ich 2 Variablen und 3 Gleichungen habe?
Ergibt 2 - 3 = -1
Wie wird dieses negative Ergebnis interpretiert?

weniger als ein Punkt kann es nicht werden

Aha also alles <=0 ist ein Punkt

Die Frage ist ja wievielie Linear unabhängige Vektoren du hast.

und wenn du 3 Gleichungen mit 2 Variablen hast, kannst du max. 2 linear unabhängige Vektoren haben...

Somit ergibt sich wieder 2 - 2 = 0

Jetzt hab ichs....die lineare Unabhängigkeit hatte ich nicht berücksichtigt!
Danke Monique:rolleyes

Es gibt keine "Hyperräume" mit negativer Dimension. dimension 0 ist ein Punkt, kleiner gehts nicht. Und die Dimension ist immer abhängig von der Zahl linear unabhängiger Vektoren. Drei Geraden (2 variable, 3 Gleichungen) schneiden sich entweder in einem Punkt oder gar nicht , es können sich ja zwei schneiden und die dritte läuft nicht durch den Punkt.

Etta

Und wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist, ist der mengentheoretische Durchschnitt leer. Korrekt?

Korrekt!!!

Etta

2 Fragen noch dazu:

A) Rechnet Ihr bezüglich der Lösbarkeit des Gleichungssystems immer die Determinante aus oder gibt es einen anderen (zeitsparenderen) Weg?

B) Wie stellt man die lineare Unabhängigkeit am schnellsten fest, muss man sie immer berechnen oder kann man es irgenwie von den Gleichungen ablesen?

LG

Also im Mentoriat haben wir immer das Gaußsche Eliminationsverfahren angewendet. So werde ich es auch in der Klausur handhaben. :)

Determinanten ist doch, meines Wissens nach, nur dazu geeignet um festzustellen voller Rang oder nicht...oder?

Grüße
Jörg

Falls Du die lineare Anhängigkeit meinst :rolleyes: , mit Gaußsche dauert es noch länger als die Det. zu berechnen, zumindest bei mir

Aber die Derterminate gibt es doch nur für quadratische Matrizen?!? Und das ist ja in den Aufgaben nicht immer gegeben....
Ich nehme die Rechteckregel. Geht mit ein bißchen Übung auch recht flott.

@Monique
Ja das ist richtig, nur bei quadratische Matrizen. Woher hast Du "die Rechteckregel"? Aus der KE? Fachbegriff?

Ich mach mal ein kleine Zusammenfassung bezüglich dem m. Durchschnitt, wie ich es verstanden habe.

Also, wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist (z.B. Det=0) dann ist der m.D. leer.
Wenn sie lösbar ist (Det ungleich 0), dann ist sie eindeutig lösbar, wenn der m.D. ein Punkt ist.
Wenn der m.D. eine Gerade ist, dann ist das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar.

[Was ist wenn der m.D. eine Ebene ist? Ist sie dann auch mehrdeutig lösbar?]

aa77 wrote:

Ich mach mal ein kleine Zusammenfassung bezüglich dem m. Durchschnitt, wie ich es verstanden habe.

Also, wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist (z.B. Det=0) dann ist der m.D. leer.
Wenn sie lösbar ist (Det ungleich 0), dann ist sie eindeutig lösbar, wenn der m.D. ein Punkt ist.
Wenn der m.D. eine Gerade ist, dann ist das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar.

[Was ist wenn der m.D. eine Ebene ist? Ist sie dann auch mehrdeutig lösbar?]

Die Rechteckregel wird im Skript als Kreisregel bezeichnet.

Ob der Mengentheoretische Durchschnitt ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene (oder leer) ist lese ich immer an der Anzahl der Variablen - der Anzahl der Gleichungen ab......

Ah, das ist die Kreisregel, jetzt hab ichs :)
Ist eine Ebene ebenfalls mehrdeutig lösbar wie bei Geraden?

aa77 wrote:

Ist eine Ebene ebenfalls mehrdeutig lösbar wie bei Geraden?

Jeder Punkt ist eine Lösung. Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten, also unendlich vielen Lösungen. Eine Ebene besteht auch aus unendlich vielen Punkten ...

Merci @chris*

habe dazu auch mal eine Frage in der Klausur 10.03.08 ist es richtig das eine leere Menge als Unterraum der R3 angesehen wird?

habe noch was gesehen in der Klausur vom 29.09.11 die 5.
Wenn ich Variablen = 3 - Gleichungen = 3 nehme kommt ja dim 0 raus also ein Punkt. Ist es in dem Fall nur kein Punkt weil das lgs nicht lösbar ist? ansonsten wäre es doch einer?

Birgit82 wrote:

habe noch was gesehen in der Klausur vom 29.09.11 die 5.
Wenn ich Variablen = 3 - Gleichungen = 3 nehme kommt ja dim 0 raus also ein Punkt. Ist es in dem Fall nur kein Punkt weil das lgs nicht lösbar ist? ansonsten wäre es doch einer?

Jein ;)
Du mußt auch noch die Anzahl der Basisvariablen berücksichtigen. Schau noch mal in Post zwei.

also sozusagen gilt das immer nur dann wenn Rg A = Rg B ist?

ich glaube so kann man das auch nicht sehen....

Richtig sollte sein
Anzahl Variablen - Anzahl [U]linear unabhängiger[/U] Gleichungen

okay dann habe ich das jetzt verstanden

Weißt du zufällig das ws ich bei 22 hin geschrieben habe mit der leeren Menge und dem Unterraum R3?

Ich glaube das die leere Menge kein Unterraum ist. Aber ich finde dazu im Skript auch nichts.... Insofern kann ich mit dieser Behauptung auch daneben liegen

Die leere Menge ist, wie der Name schon sagt, leer und enthält keinen Vektor. Und schon gar nicht den Nullvektor, und der ist zwingend erforderlich für einen Unterraum. Bitte nicht Nullvektor und leere Menge verwechseln!!

Etta

Also die Aufgaben, die ich bisher so gerechnet habe, waren alle "Nicht lösbar", weil entweder zwei Variablen 2 unterschiedliche Werte hatten, oder in einer Zeile dann 0 = x (x>0) raus kam.
Wäre es also klug, erstmal zu schauen, ob die Gleichungen überhaupt lösbar sind und dann erst den Rang ausrechnen?
An sich passiert das ja fast gleichzeitig. Aber bevor ich den Gaus auspacke, rechne ich lieber nach der Methode "das vielfache der 1.Zeile minus 2.Zeile" usw..

ich denke da hat jeder sein eigenes Verfahren. Ich rechne mit Gaus und finde beides auf einmal raus... Bei den anderen Verfahren bin ich mangels Übung sowieso langsamer

Ich hab mal den Gaus an der Aufgabe 5 (Klausur Sept. 2011) probiert. Kannst du mir das bestätigen?

Ausgangstableau:
1 2 3 | 8
2 3 4 | 5
3 5 7 | 4

Pivotelement ist 1 (ii = 11), Kreisregel anwenden zu:
1 2 3 | 8
0 -1 -2 | -11
0 -1 -2 | -20

Somit nicht lösbar.

ja, das lässt sich hier ja jetzt schon gut an Zeile 2 und Zeile 3 erkennen

warum folgt aus der Zeile 2 und 3, dass die Gleichung nicht Lösbar ist?

sorry, habs schon verstanden. es ist doch offensichtlich.

erst denken und dann fragen