Mikroökonomik KE 2
Wer kann mir bei dieser Aufgabe aus der Einsendearbeit KE 2 helfen?
Gegeben sei die Nutzenfunktion U = 3 ln x1 + 4 ln x2.
Welcher Wert kommt der Grenzrate der Substitution GRS (x2,x1) von x2 durch x1 an der Stelle x1 = 3 , x2 = 4 dem Betrage nach am nächsten?
a) ¾
b) 4/3
c) 16/9
d) 1/3
e) 9/16
Ich komme damit nicht zurecht.
Jana
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ChrissiLLB
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View profileU = 3 * ln x1 + 4 * ln x2
Berechnung der Grenzrate der Substitution GRS(x2, x1) von x2 durch x1 ...
Entweder über das totale Differential ...
[COLOR=green][B]GRS(x2, x1)[/B][/COLOR]
= dx2/dx1
= -1 * (dU/dx1) / (dU/dx2) ... // Totales Differential = 0 auf der Isoquante
= -1 * (3 * x1^-1) / (4 * x2^-1) ... // (ln x)' = 1/x
[COLOR=green][B]= -3/4 * x2/x1[/B][/COLOR]
Oder mit etwas Akrobatik über die Isoquantendefinition ...
U = 3 * ln x1 + 4 * ln x2
4 * ln x2 = U - 3 * ln x1
ln x2 = 1/4 * U - 3/4 * ln x1
Isoquante: x2 = e^(1/4 * U - 3/4 * ln x1)
[COLOR=green][B]GRS(x2, x1)[/B][/COLOR]
= dx2/dx1
= e^(1/4 * U - 3/4 * ln x1) * -3/4 * x1^-1 ........ // Kettenregel
= -3/4 * e^(1/4 * U) * e^(-3/4 * ln x1) * x1^-1 // e^(a+b) = e^a * e^b
= -3/4 * e^(1/4 * U) * x1^(-3/4) * x1^-1 ........ // e^(a*ln x) = x^a
= -3/4 * e^(1/4 * U[/COLOR]) * x1^-7/4
= -3/4 * e^(1/4 * (3 * ln x1 + 4 * ln x2[/COLOR])) * x1^-7/4 ...// U einsetzen[/COLOR]
= -3/4 * e^(3/4 * ln x1) * e^(4/4 * ln x2) * x1^-7/4 ..// e^(a+b) = e^a * e^b
= -3/4 * x1^3/4 * x2 * x1^-7/4 ....... // e^(a*ln x) = x^a
= -3/4 * x1^-1 * x2
[COLOR=green][B]= -3/4 * x2/x1[/B][/COLOR]
Jetzt mit GRS(x2, x1) = -3/4 * x2/x1:
GRS(x2, x1) für x1=3, x2=4
= [COLOR=black]-3/4 * 4/3[/COLOR]
= -1
Also: Die richtige Antwort ist a) : 3/4 liegt am nächsten an 1 (= Betrag von -1)
Liebe Grüße