Partielle Ableitungen ln x

Da die Funktion f(x,y) = ln(xy) zwei Variablen hat, kann man sie eben nach zwei Variablen ableiten, das sind dann die partiellen Ableitungen fx und fy (es gibt verschiedene Schreibweisen, bei dieser sind x und y eigentlich tiefgestellt).

Für die partielle Ableitung nach x hält man bei der Funktion die Variable y konstant und leitet dann nach der Variablen x ab, d.h. fx = (1/(xy))*y = 1/x. Analog fy = (1/(xy))*x = 1/y (hier wird nach y abgeleitet und dabei x konstant gehalten).

Da bei deiner zweiten Funktion 5 eine Konstante ist, sind die partiellen Ableitungen nach x bzw. y die gleichen wie oben.

Gedankenfolge

Das heißt, doch im Endeffekt doch das ich mit der Konstanten multipliziere.

1.) f(x,y) = ln (xy)+5
f'(x) = 1/xy*5y = 5/x
und (f'y)= 1/xy * 5x = 5/y

hab ich das jetzt richtig verstanden? Die partielle Ableitung nach x bzw. nach y, durch Multiplikation der Konstanten Funktion.

Heißt das auch, wenn jetzt zb. f(x) = xln(7x),
die erste Ableitung ja f'(x) = ln(7x)

und f(x) = ln(7x) ist die erste Ableitung
f'(x) = 1/x*7 = 7/x


Ich hoffe ich bin jetzt auf der richtigen Spur.

Veronika86,

schau Dir noch mal die Kettenregel an.

Wenn Du die Funktion ln(xy) nach sagen wir mal x ableitest, wendest Du nämlich die Kettenregel an, wie Ivanhoe es oben getan hat. Heraus kommt 1/x.

Wird ln(7x) nach x abgeleitet, kommt ebenfalls 1/x raus.

Das gilt auch, wenn Du ln(xy) + 5 nach x abgeleitet wird, weil 5 abgeleitet nach x 0 ergibt und dieser Teil somit wegfällt.

Bei xln(7x) sieht die Sache etwas anders aus. Hier musst Du sowohl Produkt- als auch Kettenregen anwenden:

f'(x) = 1 * ln(7x) + x * 1/7x * 7 = ln(7x) + 1

Danke, im Kopf hab ich das jetzt verstanden, muss das nur noch richtig verinnerlichen.

Und welche Regel wende ich bei
f(x)=xln(5x)
an? Hier setzt es bei mir irgendwie aus...

Produkt- und Kettenregel.

Klara wrote:

Produkt- und Kettenregel. :D

OK,
Produktregel:
f´*g+f*g´
f = x
f`= 1
g = ln(5x)
g´= 1/5x ???
f´= 1*ln(5x)+x*1/5x
??????? Aber das ist ja nicht die richtige Lösung, wo liegt mein Fehler/meine Fehler????

Die Funktion g ist mit der Kettenregel abzuleiten: g' = 5 * 1/5x = 1/x

Klara wrote:

Die Funktion g ist mit der Kettenregel abzuleiten: g' = 5 * 1/5x = 1/x

Ah...jetzt verstehe ich....
Ich tu mir mit der Kettenregel noch etwas schwer:(
im Endeffekt steht dann da:
1*ln(5x)+x*1/5x*5
ln(5x)+1
und wenn ich das dann noch einmal ableite um f`` zu erhalten brauche ich wieder die Kettenregel.
f`` = 1/x
Muss halt noch a paar solche Aufgaben machen um mich damit anzufreunden.
Vielen lieben Dank, Du hast mir sehr weitergeholfen. Ich hatte schon Kopfschmerzen deswegen....:o

Bei der Integralrechnung, hab ich ein Beispiel: Integral 6ln(x)dx, meiner Meinung nach unterliegt das der Regel der partiellen Integration,
also f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - Integral f'(x)g(x)

f(x) = 6lnx --> f'(x)= 6 * 1/x
g'(x) = 1 --> g(x) = x

=Integral 6ln(x)*1dx
=(6lnx)*x - Integral 6*(1/x)*x dx
= x 6lnx - x + c = x(6lnx - 1) + c

Und dann.. haha, soll ich das ERgebnis in Dezimalzschreibweise angeben... jetzt stellt sich natürlich die Frage stimmen meine vorherigen Überlegungen und wie kann ich das dan tun, wenn ich dieses Integral unter diesen Voraussetzungen berechnen soll.

Und ich hab noch ne Frage, ich hab da Aufgabe, da steht über dem Integralzeichen ein kleines Pi steht und ein kleines Pi/2 unter dem Integralzeichen, ist das die Bezeichnung am Integral für x nicht gleich Pi/2+ zPi, mit z E Z?

Veronika86 wrote:

Und ich hab noch ne Frage, ich hab da Aufgabe, da steht über dem Integralzeichen ein kleines Pi steht und ein kleines Pi/2 unter dem Integralzeichen, ist das die Bezeichnung am Integral für x nicht gleich Pi/2+ zPi, mit z E Z?

Diese Frage versteh' ich nicht. Die [tex] \pi [/tex] sind die Integrationsgrenzen, die musst Du einsetzen, wenn Du die Stammfunktion gefunden hast.

Veronika86 wrote:

= x 6lnx - x + c = x(6lnx - 1) + c

Und dann.. haha, soll ich das ERgebnis in Dezimalzschreibweise angeben... jetzt stellt sich natürlich die Frage stimmen meine vorherigen Überlegungen und wie kann ich das dan tun, wenn ich dieses Integral unter diesen Voraussetzungen berechnen soll.

Achtung hier muss es x 6lnx - 6x heissen. (Das c kann getrost weggelassen werden.) Wenn Ein Ergebnis in Dezimalschreibweise kannst Du nur angeben, wenn Du Integrationsgrenzen gegeben hast. Diese einsetzen und dann solltest Du ein Ergebnis haben.

Okay, also, i hab bei dem Beispiel die obere Integralgrenze von e und die untere Integralgrenze von 1 angegeben.
zu
=Integral 6ln(x)*1dx
=(6lnx)*x - Integral 6*(1/x)*x dx
= x6lnx - 6x + c
= x(6lnx - 6) + c

Man kann einfach des c weglassen - gut zu wissen, falls i des vergiss.

Also sind die Integrationsgrenzen (a,b) = (1,e), i kann des aber irgendwie net so richtig anschauen bzw. umsetzen.

Das c fällt bei der Rechnung weg, ich werde es im folgenden stehen lassen, dass siehtst Du es.

Du musst jeweils die obere und untere Grenze für x einsetzen und das Ergebnis der unteren Grenze vom Ergebnis der oberen Grenze abziehen:

e * (6ln(e) - 6) + c - [1 * (6ln(1) - 6) + c] = e*(6-6) +c - 6*0 + 6 - c = 6

Okay,

e * (6ln(e) - 6) + c - [1 * (6ln(1) - 6) + c] = e*(6-6) +c - [U]6*0[/U] + 6 - c = 6

müsste das nicht bei EInsetzen

e * (6ln(e) - 6) + c - [1 * (6ln(1) - 6) + c]
= e*(6-6) +c - 1*([U]6*1[/U]) + 6 - c = 0

sein?
Was dann automatisch null ergeben würde?

Und was mach ich, wenn ich eine Funktion in Form einer Polynomsfunktion habe, jedoch keine Intervalle (a,b)? Die Nullstellen sind berechenbar. Um den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Funktion und der x-Achse zu berechnen, nehme ich dann die äußeren Punkte der Nullstellen - oder wie kann ich diese Intervalle bestimmen?

Ln(1) ist immer noch 0.

Okay, hatte ich vergessen, danke.

Und weißt du das zufällig mit den Intervallen - wenn ich keine gegeben habe, wie ich die berechnen kann. Das ist nämlich bei der EA gegeben und ich hab grad dabei gar keinen Überblick.

Halber Nervenkoller wär schön gesagt. Wie kriegst du das zeitlich hin? Ich war im November zwei wochen auf Messen - jetzt bin ich total im Rückstand und krieg mega panik - obowhl ich weiß, dass das gar nichts hilft.

Wenn keine Integrationsgrenzen gegeben sind, kannst Du nur die Stammfunktion berechnen.

Die Routine kommt mit zunehmender Studiendauer, irgendwann weiss man wie der Hase läuft und ist weniger panisch. Bis dahin heisst es am Ball bleiben und wenn es wirklich zuviel wird, einen Kurs auf's nächste Semester verschieben.

Okay, dann setze ich einfach nur die vier verschiedenen Nullstellen von f(x) in die Stammfunktion F(x) ein, und komme so auf die Lösung.

Danke, auch für den Rat mit dem aufs nächste semester verschieben, wer weiß. Da müsste ich mich eigentlich nur wieder von der Klausur im März abmeldne und dann für die im September, oder muss ich dann einen WIederholerkurs machen?

Veronika86 wrote:

Okay, dann setze ich einfach nur die vier verschiedenen Nullstellen von f(x) in die Stammfunktion F(x) ein, und komme so auf die Lösung.\

Das verstehe ich jetzt nicht... :confused:\

Veronika86 wrote:

Danke, auch für den Rat mit dem aufs nächste semester verschieben, wer weiß. Da müsste ich mich eigentlich nur wieder von der Klausur im März abmeldne und dann für die im September, oder muss ich dann einen WIederholerkurs machen?

Ja, für März abmelden (geht bei den Wiwis bis ein Tag vor der Klausur) und für September rechtzeitig wieder anmelden. Wenn Du die Einsendeaufgaben geschafft hast, musst Du Dich nicht als Wiederholerin zurückmelden. Du solltest es aber tun, weil Du dann die aktuellen EA zugeschickt bekommst. Für Akademiestudierende kostet das allerdings 60,- €, :mad: für "normale" Studierende ist es umsonst.

Veronika,

wie wäre es, wenn Du ein halbes Stündlein Deiner (zweifellos) wertvollen Lernzeit investierst und erste Schritte mit TeX machst. Dann hast Du etwas, womit Du später Deine EAs, Deine Bachelor-, Master- und Doktorarbeit prima schreiben kannst und nebenbei kannst Du hier im Forum Dein Problem so formulieren, dass niemand etwas interpretieren muss, sondern Dir direkt helfen kann. Schau mal hier herein:

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Veronika86 wrote:

Und ich hab noch ne Frage, ich hab da Aufgabe, da steht über dem Integralzeichen ein kleines Pi steht und ein kleines Pi/2 unter dem Integralzeichen, ist das die Bezeichnung am Integral für x nicht gleich Pi/2+ zPi, mit z E Z?

Hiermit meinst Du doch etwas in der Form wie, oder????

[tex]
\frac{\pi}{2} + z \pi \qquad \mbox{mit} z \in Z
[/tex]

Nur, was willst Du damit sagen? Hmmmm.....

Veronika86 wrote:

Bei der Integralrechnung, hab ich ein Beispiel: Integral 6ln(x)dx, meiner Meinung nach unterliegt das der Regel der partiellen Integration,
also f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - Integral f'(x)g(x)

f(x) = 6lnx --> f'(x)= 6 * 1/x
g'(x) = 1 --> g(x) = x

=Integral 6ln(x)*1dx
=(6lnx)*x - Integral 6*(1/x)*x dx
= x 6lnx - x + c = x(6lnx - 1) + c

Und dann.. haha, soll ich das ERgebnis in Dezimalzschreibweise angeben... jetzt stellt sich natürlich die Frage stimmen meine vorherigen Überlegungen und wie kann ich das dan tun, wenn ich dieses Integral unter diesen Voraussetzungen berechnen soll.

Falls Du das meinen solltest:
[tex]
\int_1^e 6 \cdot \ln x dx = 6 \cdot \int_1^e \ln x dx = 6 \cdot [x \cdot \ln x - x ]_1^e = 6 \cdot ((1 \cdot \ln (1) - 1 ) - e \cdot \ln (e) - e) = 1
[/tex]

Veronika86 wrote:

Okay, dann setze ich einfach nur die vier verschiedenen Nullstellen von f(x) in die Stammfunktion F(x) ein, und komme so auf die Lösung.\

Hmmmmmmmmmm...???

**NBl;627759

Falls Du das meinen solltest:
[tex wrote:**

\int_1^e 6 \cdot \ln x dx = 6 \cdot \int_1^e \ln x dx = 6 \cdot (\ln (e) - \ln (1)) = 6 \cdot (1 - 0)= 6
[/tex]

so benötigst Du keine partielle Integration. Aber: Was meinst Du wirklich???\

Ich denke schon, oder kennst Du spontan eine Stammfunktion von ln(x)?

Klara wrote:

Ich denke schon, oder kennst Du spontan eine Stammfunktion von ln(x)?

Klara, nicht immer aus der Hüfte schießen - das geht meistens schief...

NBl wrote:

Klara, nicht immer aus der Hüfte schießen - das geht meistens schief... :D

Meinst Du jetzt das verunglückte Zitat oder meine Anmerkung dazu? :eek

Klara wrote:

Meinst Du jetzt das verunglückte Zitat oder meine Anmerkung dazu? :eek:

Na, wir beide sind gemeint: Ich habe zu früh auf "antworten" gedrückt (und noch nebenbei gerechnet und versucht herauszubekommen, was Veronika eigentlich vor hat) - und Du hast auch zu schnell auf "antworten" gedrückt...

Okay, hab das jetzt mit tex überrissen - danke für den Link!! ...

Klara wrote:

Diese Frage versteh' ich nicht. Die [tex] \pi [/tex] sind die Integrationsgrenzen, die musst Du einsetzen, wenn Du die Stammfunktion gefunden hast.

Achtung hier muss es x 6lnx - 6x heissen. (Das c kann getrost weggelassen werden.) Wenn Ein Ergebnis in Dezimalschreibweise kannst Du nur angeben, wenn Du Integrationsgrenzen gegeben hast. Diese einsetzen und dann solltest Du ein Ergebnis haben.

Nein, eine Konstante läßt man nie einfach unter den Tisch fallen. Wofür stand sie den vorher d?! Das Ergebnis ist so niemals richtig, wenn c weggelassen wurde.

krischanii wrote:

Nein, eine Konstante läßt man nie einfach unter den Tisch fallen. Wofür stand sie den vorher d?! Das Ergebnis ist so niemals richtig, wenn c weggelassen wurde.

Ohne Integrationsgrenzen hast du Recht, aber wie ich oben gezeigt habe, kann man, wenn Integrationsgrenzen vorhanden sind, die Konstante weglassen, weil sie sowieso wegfällt.

NBl wrote:

Falls Du das meinen solltest:
[tex]
\int_1^e 6 \cdot \ln x dx = 6 \cdot \int_1^e \ln x dx = 6 \cdot [x \cdot \ln x - x ]_1^e = 6 \cdot ((1 \cdot \ln (1) - 1 ) - e \cdot \ln (e) - e) = 1
[/tex]\

Schön, aber mit Fehler.

Beim bestimmten Integral sieht man von der oberen Grenze die untere Grenze ab. Hier mag so auch 1 rauskommen, was das korrekte Ergebnis ist, aber bei anderen Grenzen kann dies schon wieder anders aussehen.

[FONT=Courier New]Hallo! Kann mir hier vielleicht mal einen Denkanstoß geben?

[FONT=Courier New]Bei Aufgabe 1b habt ihr ja schon einige Lösungen, ich komm auf was Ähnliches,

[FONT=Courier New]\int_{0}^1 x²*e^x\,dx --> Integralzeichen mit [U]Obergrenze 1 und [/U]
[FONT=Courier New][U]Untergrenze 0[/U]

[FONT=Courier New]f(x) = x², f'(x) = 2x, g'(x)= e^x

[FONT=Courier New]Fortgesetzte Partielle Integration: f(x) g(x)│- \int_{b}^a f'(x)g(x) dx

\int_{1}^0 x²e^x dx = x²e^x│\int_{1}^0 2xe^x dx
= 1²*e^1 - 0²*e^0 - (2*1*e^1 - \int_{1}^0 2*0*e^0 dx
= 1e^1 - 0 - 2e^1 - 2e^0 + c
= -e^1 - 2 = -4,71828 --> jedoch sollte das Ergebnis e^1-2= 0,71828 sein,

Also hab ich irgendwo einen Fehler. Hmm..

(Entschuldigung, doch das tex scheint nicht richtig zu funktionieren - denk ich - oder ich habs noch immer nicht gerafft.)

Veronika86 wrote:

[FONT=Courier New] (Entschuldigung, doch das tex scheint nicht richtig zu funktionieren - denk ich - oder ich habs noch immer nicht gerafft.)

Das mit dem TeX geht doch schon ganz prima - nur solltest Du Deinen TeX-Code zwischen [PLAIN][tex][/PLAIN] und [PLAIN][/tex][/PLAIN] schreiben. Drück doch mal bei einem Beitrag, der TeX enthält, auf zitieren, dann siehst Du, was ich meine...

:)

Zum fachlichen. Schau mal hier hin:

[url]#?t=41553#post619493[/url]

[tex]
\int^1_0 x^2 \cdot e^x dx = [x^2 \cdot e^x - 2 x \cdot e^x + 2 \cdot e^x ]^1_0 = (1 \cdot e^1 - 2 \cdot e^1 + 2 \cdot e^1) - (0 - 0 + 2 \cdot e^0) = e^1 - 2
[/tex]

Okay, super, hatte einen Vorzeichenfehler. Danke!!!

Zum fachlichen. Schau mal hier hin:

Zitat - gecheckt!