Kann mir vielleicht jemand eine einleuchtende :) Erklärung zu den partiellen Ableitungen geben.
Es will und will nicht klappen.
Bereits allen vorab viel Glück bei den Klausuren
Die Variable, nach der Du nicht ableitest, bleibt ja konstant. Stell Dir einfach vor, die konstante Variable ist eine Zahl, dann ist es gedanklich wie beim bisherigen Ableiten.
Wenn Du z.B. x²y+x+y nach x ableiten möchtest, wäre es so als stünde da x²*2+x+2.
Die Variable, nach der Du nicht ableitest, bleibt ja konstant. Stell Dir einfach vor, die konstante Variable ist eine Zahl, dann ist es gedanklich wie beim bisherigen Ableiten.
Wenn Du z.B. x²y+x+y nach x ableiten möchtest, wäre es so als stünde da x²*2+x+2.
Die partielle Ableitung nach x wäre also 2*x*y+1
Naaaaja :(
Diese rote Zwei ist dabei anstatt y eingesetzt: x²*[COLOR=Red]2[/COLOR]+x+[COLOR=Red]2[/COLOR]
(unglücklicherweise ist der Exponent des ersten x auch zwei...)
Ich fände eine etwas bessere Erklärung, wenn Du Dir vorstellst, daß anstatt y einfach ein a (oder ein c wie "konstant") stünde. ;)
So ist also ( "c" nur vorstellen, nicht hinschreiben) :
[tex]
\frac {\partial}{\partial x} \left( x^2 \cdot y + x + y \right) = 2 \cdot x \cdot y + 1
[/tex]
und ( jetzt das "c" für x einsetzen und so x konstant halten)
[tex]
\frac {\partial}{\partial y} \left( x^2 \cdot y + x + y \right) = x^2 + 1
[/tex]
(Schönes Beispiel - @pple! :) )
---
edit: Du kannst nun beide Ableitungen nun nach der jeweils anderen Größe differenzieren. Dann erhälst Du (in beiden Fällen)
[tex]
\frac {\partial^2}{\partial y \partial x} \left( x^2 \cdot y + x + y \right) = 2 \cdot x
[/tex]
Das heißt, die Reihenfolge der Differentationen ist egal - das nennt man den "Satz von Schwarz" :) )
Comments
@pple
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View profileDie Variable, nach der Du nicht ableitest, bleibt ja konstant. Stell Dir einfach vor, die konstante Variable ist eine Zahl, dann ist es gedanklich wie beim bisherigen Ableiten.
Wenn Du z.B. x²y+x+y nach x ableiten möchtest, wäre es so als stünde da x²*2+x+2.
Die partielle Ableitung nach x wäre also 2*x*y+1
NBl
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View profileNaaaaja :(
Diese rote Zwei ist dabei anstatt y eingesetzt: x²*[COLOR=Red]2[/COLOR]+x+[COLOR=Red]2[/COLOR]
(unglücklicherweise ist der Exponent des ersten x auch zwei...)
Ich fände eine etwas bessere Erklärung, wenn Du Dir vorstellst, daß anstatt y einfach ein a (oder ein c wie "konstant") stünde. ;)
So ist also ( "c" nur vorstellen, nicht hinschreiben) :
[tex]
\frac {\partial}{\partial x} \left( x^2 \cdot y + x + y \right) = 2 \cdot x \cdot y + 1
[/tex]
und ( jetzt das "c" für x einsetzen und so x konstant halten)
[tex]
\frac {\partial}{\partial y} \left( x^2 \cdot y + x + y \right) = x^2 + 1
[/tex]
(Schönes Beispiel - @pple! :) )
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edit: Du kannst nun beide Ableitungen nun nach der jeweils anderen Größe differenzieren. Dann erhälst Du (in beiden Fällen)
[tex]
\frac {\partial^2}{\partial y \partial x} \left( x^2 \cdot y + x + y \right) = 2 \cdot x
[/tex]
Das heißt, die Reihenfolge der Differentationen ist egal - das nennt man den "Satz von Schwarz" :) )