Systematische Kurvendiskussion S.32

Man untersucht, wie sich die Funktion gegen unendlich und minus unendlich verhält. Warum muß man eine Funktion untersuchen, ist hier nicht relevant, man muß es können, um später die Produktionsfunktionen analysieren zu können.Ich würde mich allerdings nicht allzu lange mit der Kurvendiskussion aufhalten, in der Klausur werden spezielle Themen rausgegriffen wie z.B. nur Grenzwertberechnung, evtl. Definitionsmenge, Maxima. Eine komplette Diskussion würde zu lange dauern...LG Lisa

Julia_N wrote:

iv) Untersuchung der Funktionswerte:
a) an den äußeren Rändern

Warum muss man eine Grenzwertbetrachtung machen?

Das muss man dann tun, wenn die (stetige) Funktion an den Rändern nicht definiert ist, weil die Ränder z.B. [tex]\pm\infty[/tex] sind. Es kann auch sein, dass die Funktion in einem endlichen, aber offenen Intervall, d.h. ohne Ränder, definiert ist, z.B. [tex]f: ]0,1[\rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := \frac{1}{x(1-x)}[/tex].
Dann kann man ja schlecht die Ränder einsetzen, man kann nur untersuchen, wie sich die Funktionswerte bei der Annäherung an die Ränder verhalten, also Grenzwertbetrachtungen anstellen.

Danke für die schnellen Antworten.
Mein Abitur ist schon etwas länger her aber langsam kommt das Verständnis wieder;)
Nur eine Sache ist mir noch nicht ganz klar. Warum muss mann erst eine Polynomdivision durchführen bevor man den Grenzwert berechnen kann.
Geht es bei gebrochen rationalen Funktionen mit x-Werten höheren Grades nicht mit der Ursprungsfunktion?

chris* wrote:

Das muss man dann tun, wenn die (stetige) Funktion an den Rändern nicht definiert ist, weil die Ränder z.B. [tex]\pm\infty[/tex] sind. Es kann auch sein, dass die Funktion in einem endlichen, aber offenen Intervall, d.h. ohne Ränder, definiert ist, z.B. [tex]f: ]0,1[\rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := \frac{1}{x(1-x)}[/tex].
Dann kann man ja schlecht die Ränder einsetzen, man kann nur untersuchen, wie sich die Funktionswerte bei der Annäherung an die Ränder verhalten, also Grenzwertbetrachtungen anstellen.

Julia_N wrote:

Nur eine Sache ist mir noch nicht ganz klar. Warum muss mann erst eine Polynomdivision durchführen bevor man den Grenzwert berechnen kann.

Muss man? Eigentlich macht man das, um das asymptotische Verhalten zu untersuchen.

Ist häufig eine etwas elegantere Alternative zu l'Hospital. Aber tue Dir selbst den Gefallen und löse lieber mit l'Hospital, das ist meist schneller und Du hast keine Zeit zum Verschenken :)
Es gibt übrigens sehr wohl Grenzwertberechnungen, die im Definitionsbereich liegen und nicht nur außerhalb. Allerdings sind diese nicht so relevant.
LG Lisa

Ich glaube du verwechselst Polynomdivision gerade mit dem Kürzen durch die höchste Potenz des Nennerpolynoms.

Nein, Du kannst zwar x mit der höchsten Potenz rausziehen und kürzen. Du kannst aber (bei Dörsam z.B. erwähnt) mit Polynomdivision einen ganzen Term rausziehen und kürzen, nagel mich nicht auf Begriffe fest, aber es heißt gängig Polynomdivision zur Bestimmung der Nullwerte). Geht aber nur in bestimmten Brüchen, daher eben eine Alternative zu l'Hospital...

Aber was bringt das bei der Grenzwertbestimmung? Klar geht es so, aber ich sehe den Nutzen nicht, und es ist ein Heidenaufwand dafür, dass man Ende sowieso die meisten Informationen aus dieser Zerlegung wegwirft.

Bei uns in der Klausur ist der Weg schnuppe, aber wo anders heißt es in der Aufgabenstellung eben ohne l'Hospital ermitteln. es ist zwar ganz nett, es zu wissen, aber ich würde auch niemals so rechnen wollen, da hast Du recht.

Wie gesagt -- "ohne l'Hospital" heißt für mich ganz klar Kürzen der höchsten Nennerpotenz. Polynomdivision würde mir da nie einfallen.