Vektorraum Dimension

Vektorraum; Dimension

Hallo!

also meines Wissens gelten die folgenden Definition:

Die Dimension eines Vektorraumes (R3) ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, die nötig sind, um durch ihre Linearkombintation alle Elemente des Vektorraumes zu bilden.

Die Dimension des R3 ist also 3, die Dimension
des Rn ist n.

Hilft Dir weiter?

Grüsse S.

goaliemarc wrote:

da geht es um 4 linear abhängige Vektoren und die Frage, welche Dimension der von diesen Vektoren aufgespannte Raum hat !!??:confused:

Prüfe zunächst, ob es unter den Vieren drei Vektoren gibt, die linear unabhängig sind. Der vierte ist dann ja zwangsläufig eine Linearkombination der drei. Versuche auch mal, dir das bildlich vorzustellen (sollte im R3 machbar sein).

Etwas allgemeiner: Du hast mal ganz allgemein k Vektoren eines Rn, diese spannen einen Raum der Dimension m auf, wobei m (mit m < k) die maximale Anzahl von Vektoren ist, welche in Rn linear unabhängig sind.

Ich hoffe du hattest mir nichts abgeholt, hatte nämlich gestern auch in ebay gestöpert;)

Genau die Teilaufgabe meine ich, aber ich verstehe nicht, warum die Dimension 1 ist.:confused

sagax wrote:

Dies bedeutet, daß die beiden linear abhängigen Vektoren beide eine Fläche aufspannen, da sie biede in einer Eben liegen. Die Dimension einer Fläche ist 1.

*Mööp!* Gerade erst gesehen, dass hier noch einiges im Argen liegt: Die Dimension einer Fläche ist [COLOR=Red][B]2[/B][/COLOR]! Wenn die beiden Vektoren aber linear abhängig sind (also mithin "parallel" verlaufen), spannen sie keine Fläche auf, sondern nur eine Gerade, und deren Dimension ist 1. Bitte anschaulich klar machen

Dimension, Vektor

Sorry Goalie!

Mister Tutor hat hier völlig Recht und das war auch was ich meinte.
Aber der Erwerb von Neuware mit 65% unter Ladenpreis hat mich kurzzeitig etwas benebelt.

Zum Glück schaut ja immernoch mal jemand drauf:) (Grüße!)
Ab jetzt wieder fehlerfrei!!

Gegentor für mich!

Grüße S.

vor allem hat er damit recht, dass noch einiges im Argen liegt !!

Lineare Vektoren bilden also immer eine Ebene und keine Fläche weil sie parallel liegen; kapiert !!

ist dann der Raum in dem wir uns befinden völlig egal ??

ja, weil auch im R4, R5 , Rn bilden linear abhängige Vektoren eine Gerade, oder ?? oh Gott Hilfe ... !!
:eek: :eek: :eek: :eek: :eek

goaliemarc wrote:

... vor allem hat er damit recht, dass noch einiges im Argen liegt !!

Lineare Vektoren bilden also immer eine Ebene und keine Fläche weil sie parallel liegen; kapiert !!

ist dann der Raum in dem wir uns befinden völlig egal ??

ja, weil auch im R4, R5 , Rn bilden linear abhängige Vektoren eine Gerade, oder ?? oh Gott Hilfe ... !!
:eek: :eek: :eek: :eek: :eek:

HALT! Nicht auf bel. n-dimensionale Vektorräume ausweichen (sonst komm ich hier vor lauter Romanschreiberei heute nicht mehr zum Lernen *g*). Bleib erstmal beim R³, das sollte locker reichen. Also nicht in Wespennester stochern, die man frühestens im Mathe-Studium ausräuchert...:eek:

Um dich aber trotzdem ein wenig zu verwirren: auch im Rn bilden 2 linear abhängige Vektoren eine Gerade, drei eine Ebene genau dann wenn sie paarweise unabhängig sind und vier einen dreidimensionalen Raum, wenn je bel. drei unabhängig sind, und allgemein k < n Vektoren einen sog. Hyperraum. Aber vorstellen sollst du dir das wirklich nicht.

Um also bei den dreidimensionalen Dingern zu bleiben: Ja es ist egal, in welchem "Raum" wir uns befinden (math. korrekt: es ist egal, welche Basis der VR hat)! Aber nicht wegen deiner Begründung, sondern einfach weil es zwischen beliebigen (endlichdimensionalen) Vektorräumen gleicher Dimension immer einen Vektorraumisomorphismus gibt = eine bijektive lineare Abbildung zwischen diesen beiden Räumen - allerdings ist das wohl etwas, womit man sich im Wiwi-Studium sicher nicht soo befassen muss;)

Für uns gilt einfach, dass wir im karthesischen R³ befinden, und den kann man sich wenigstens noch vorstellen.

Frage an mitlesende Mathematiker: Welchen groben Fehler hab ich bei obiger Erklärung eingebaut:confused:?

Ach du schreck !!

verstehe kein Wort. Bin kein Mathematiker und werde auch keiner werden.
Wenn in der Klausur nach der Dimension linear abhängiger Vektoren gefragt wird, ist die Dimension dann immer 1 ??

Nein, gefragt wird hierbei nach der maximalen Anzahl dieser Vektoren, die linear unabhängig voneinander sind. Also wenn du zB vier Vektoren genannt bekommst, so kann es durchaus sein, dass drei dieser Vektoren unabhängig sind, dann wäre die Dimension logischerweise drei. Wenn aber alle in einer Ebene liegen (bitte mal vorstellen), dann wären wohl nur immer zwei linear unabhängig -> Dimension = 2. Es könnte aber auch sein, dass sie allesamt parallel sind: Dann (und nur dann!) ist die Dimension = 1.

Hallo Goalie-hier noch ein Tipp

Hallo Goalie!

Ich hab diesen Link für online Mathevorlesungen vom Lehrstuhl Rödder aus dem Forum gefischt.

[URL="https://www.fernuni-hagen.de/ZFE/videostreaming/or/"]https://www.fernuni-hagen.de/ZFE/videostreaming/or/[/URL]

Vielleicht hilft Dir das auch noch weiter (Dimension 2, na da hab ich ja nen Bock geschossen?!)

Grüße

S.

sagax wrote:

Vielleicht hilft Dir das auch noch weiter (Dimension 2, na da hab ich ja nen Bock geschossen?!)

Nö eigentlich nicht wirklich;) Ob Dimension 2, oder 3 oder 42, spielt eigentlich eine untergeordnete Rolle: Wenn man es für die 2 einmal kapiert hat, ist der Sprung auf höhere Dimensionen recht einfach. Finde ich jedenfalls....

Dimension, Vektor

Greetings K.!

Naja, wenn man sich hier aufschwingt um etwas zu erklären, dann sollte man (also ich) das dann auch konzentriert und richtig machen.;)

Schließlich werden auch bei mir vor der Klausur noch einige Fragen auftauchen und dann hätte ich auch gern....


Thanks for coaching!

Grüße

S.

Frage an mitlesende Mathematiker: Welchen groben Fehler hab ich bei obiger Erklärung eingebaut:confused:?

k<n beim Hyperraum ist denke ich nicht so ganz korrekt...