Verständnisfrage zu "Basis" "Dimension" und "Vektorraum"

CptChaos,

eine Basis spannt den Verktorraum auf. Um den Vektorraum R³ aufzuspannen werden drei l.u. vektoren benötigt. Zwei l.u. Vektoren können auch nur den R² erzeugen. Im Gegensatz dazu sind vier Vektoren im R³ immer l.a.!

Güße Frank

Ja aber wann sind die vektoren l.u.wie stellt man das fest?z.B.bei übungsaufgabe 2.2.6ii)woher kommen diese -2 und 1 vor den vektoren?

sterzfan wrote:

Zwei l.u. Vektoren können auch nur den R² erzeugen.

Das stimmt nicht ganz. Zwei linear unabhängige Vektoren können einen zweidimensionalen Vektorraum erzeugen, das muss aber nicht notwendig der R² sein. So spannen auch die l.u. Vektoren (1,0,0) und (0,1,0) einen Vektorraum auf, der ein Unterraum (=Teil) des R3 ist, genauer gesagt, eine Ebene.

Zum linearen Unabhängigkeit: stellt Euch vor, Ihr habt zwei Bleistifte, die (sich an den Enden berühren und) im Zimmer "irgenwohin" zeigen. Zeigen sie beide exakt in die selbe Richtung sind sie linear abhängig, zeigen sie in verschiedene Richtungen, sind sie linear unabhängig. Macht man das Spielchen mit drei Bleistiften, sind die Bleistifte l.u., wenn sie alle drei in unterschiedliche Richtungen zeigen.

bambi,

"diese -2 und 1 vor den vektoren" sind eine Möglichkeit die zeigen dass die Vektoren linear kombinierbar sind: -2 x Vektor1 + 1 x Vektor2 = 0. Siehe auch Definition 2.2.2 auf Seite 18.

Grüße Frank