WS 96/97 Aufgabe 1a

Embi,

also, nach was zu erst abgeleitet wird, das kommt auch immer darauf an, wie die Achsen beschriftet sind. Ich unterstelle jetzt einfach mal, dass an der y-Achse [tex] r_1 [/tex] und an der x-Achse [tex] r_2 [/tex] steht. Die GRS bekommst Du dadurch, dass Du das TOTALE Differential bildest unter der Berücksichtigung, dass [tex] dx = 0 [/tex] gilt, da alle Kombinationen von [tex] r_1 [/tex] und [tex] r_2 [/tex] ja zum gleichen Output [tex] x [/tex] führen. Die GRS leitet sich also aus dieser Gleichung ab:\

[tex] dx = \frac{\partial x}{\partial r_1} dr_1 + \frac{\partial x}{\partial r_2} dr_2 = 0 [/tex]

Umstellen führt zu

[tex] \frac{dr_1}{dr_2} = - \frac{\frac{\partial x}{\partial r_2}}{\frac{\partial x}{\partial r_1}} [/tex]

Für die Minimalkostenkombination brauchst Du ja noch die Kosten, also [tex] K = q_1 * r_1 + q_2 * r_2 [/tex]. Wenn Du die Gerade in das Diagramm einzeichnest, musst Du die Gleichung vorher nach [tex] r_1 [/tex] umstellen: [tex] r_1 = - \frac{q_2}{q_1} * r_2 + \frac{K}{q_1} [/tex]. Die Steigung dieser Geraden ist [tex] \frac{dr_1}{dr_2} = - \frac{q_2}{q_1} [/tex].

Also gilt

[tex] \frac{dr_1}{dr_2} = - \frac{q_2}{q_1} = - \frac{\frac{\partial x}{\partial r_2}}{\frac{\partial x}{\partial r_1}} [/tex]

[tex] \frac{q_2}{q_1} = \frac{\frac{\partial x}{\partial r_2}}{\frac{\partial x}{\partial r_1}} [/tex]

Ich hoffe, dass Dir das jetzt bei Deiner Frage weiterhilft.

Grüße!

Leider noch nicht wirklich. Du würdest ja dann bei der Minimalkostenkombination genau andersrum rechnen, als ich. Oder kommt dann das gleiche Ergebnis raus? Eigentlich doch nicht, oder?!

embi wrote:

Hallo,
ich habe mal eine (doofe) Frage zur Grenzrate der Substitution und Minimalkostenkombination.

Bei der o. g. Aufgabe wird dx/dr2 / dx/dr1 gerechnet.

Bei der Minimalkostenkombination wird dx/dr1 / dx/dr2 mit Gleichsetzung der Faktorpreise gerechnet. \

Wie rechnest Du denn die Aufgabe. Bei mir kommt das gewünschte Ergebnis raus.

Hier mal meine Rechnung:

[tex] s_{12} = - \frac{dr_1}{dr_2} = 0.4 [/tex] mit [tex] - \frac{dr_1}{dr_2} = \frac{\frac{\partial x}{\partial r_2}}{\frac{\partial x}{\partial r_1}} = \frac{2*r_1}{4 + 2*r_2} [/tex]

Du hast jetzt 2 Gleichungen und 2 Unbekannte, da ja gilt [tex] x = 20 = 4*r_1 + 2*r_1*r_2 [/tex]

(1) [tex] 20 = 4*r_1 + 2*r_1*r_2 [/tex]

(2) [tex] 0.4 = \frac{2*r_1}{4 + 2*r_2} [/tex]

Als Ergebnis kommt dann raus: [tex] r_1 = 2 [/tex] und [tex] r_2 = 3 [/tex].

embi wrote:

Leider noch nicht wirklich. Du würdest ja dann bei der Minimalkostenkombination genau andersrum rechnen, als ich. Oder kommt dann das gleiche Ergebnis raus? Eigentlich doch nicht, oder?!

Ah, ich glaub, ich versteh jetzt, was Du mit dem "genau andersrum" meinst. Bei der MKK setzt Du die partiellen Ableitungen mit den Faktorpreisen gleich, aber ob Du [tex] \frac{\frac{\partial x}{\partial r_1}}{\frac{\partial x}{\partial r_2}} = \frac{q_1}{q_2} [/tex] oder [tex] \frac{\frac{\partial x}{\partial r_2}}{\frac{\partial x}{\partial r_1}} = \frac{q_2}{q_1} [/tex] ist für das Ergebnis nicht relevant, da kommt exakt das gleiche raus. Wie ich Dir bei der Herleitung geschrieben habe, habe ich definiert, dass r1 auf der y-Achse und r2 auf der x-Achse abgetragen werden soll, und in diesem Fall ist die Steigung der Kostengerade ja als [tex] \frac{dr_1}{dr_2}[/tex] definiert. Die Idee bei der MKK ist ja, dass bei der MKK die GRS der Steigung der Kostengerade entspricht (Produktionsisoquante tangiert ja die Kostengerade in der MKK). Im Prinzip schauen, wie die Achsen definiert sind bzw. Dir beim rechnen, wenn keine Vorgaben dazu gemacht worden sind, was auf welcher Achse abgetragen werden soll, dass Du bei Berechnung der GRS und der MKK von den gleichen Achsenbeschriftungen ausgehst. Sonnst gibt es ein durcheinander.

Ja, genau, das meinte ich. Komisch, bei mir kam nicht das gleiche raus

embi wrote:

Ja, genau, das meinte ich. Komisch, bei mir kam nicht das gleiche raus :-(

Es MUSS aber das gleiche rauskommen. Hier mal ein Bsp.:[tex] \frac{1}{2} = \frac{r_1}{r_2} [/tex] führt zu [tex] r_1 = \frac{1}{2} * r_2 [/tex].Und jetzt das ganze nochmals für die "umgekehrte" Variante: [tex] \frac{2}{1} = \frac{r_2}{r_1} [/tex] führt zu [tex] r_1 = \frac{1}{2} * r_2 [/tex].Du musst Dich verrechnet haben. Poste doch mal Deinen Rechenweg...

Dankeschön, dann rechne ich gleich nochmal in beide Richtungen...